关圆的知识及例题
作者：龙 转贴自：本站原创
圆内接三角形的一个性质及应用
五方向 王永梅
性质：三角形任意两边的乘积等于第三边上的高与其外接圆直径的乘积。
已知圆O是△ABC的外接圆，AD是边BC上的高，AE是圆O的直径。
求证：AB·AC=AD·AE。
证明：如图1所示，连结BE，则有
图1
又AD上是边BC上的高，
所以
故
即
因此，AB·AC=AD·AE。
该性质应用非常广泛，巧妙地应用此性质解题，能简化解题过程。现举例说明如下：
1. 证明等积式
例1. 如图2所示，已知AB为圆O的一条弦，C、D在圆O上且在AB的同侧，求证：AD·BD·CE=AC·BC·DF。
图2
证明：设圆O的直径为d，则
AD·BD=DF·d
AC·BC=CE·d
两式相乘得
AD·BD·CE·d=AC·BC·DF·d
即
2. 证明比例式
例2. 已知圆O的内接四边形ABCD的对角线BD平分AC于E。求证；。
证明：如图3所示，分别过点A、C作。
图3
设圆O的直径为d，则
3. 证明定值
例3. 两圆相交于两点A、B，经过交点B的任意一直线和两圆分别相交于点C、D。求证：AC与AD的比为定值。
证明：如图4所示，连结AB，过A作
图4
设圆O1、圆O2的直径分别为，则，两式相除，得（为定值）。
4. 求函数式
例4. 如图5所示，已知圆O的内接△ABC中，AB+AC=12，且AD=3。设圆O的半径为y，AB的长为x。求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围。
图5
解：连结AO，并延长交圆O于E，则
因为△ABD、△ACD均为直角三角形，且
AD=3，所以
即自变量x的取值范围是。
练习：
已知AC、BD是圆O的内接四边形的两条对角线，且。
求证：是定值。
例谈圆的动态变化
刘瑞华 吕华彬
随着新课程的实施和素质教育的不断深入，一些与几何有关的动态变化题在各省市中考题中频频出现，已成为近两年中考数学的热点之一。解此类题要求认真阅读、观察、对比、推理和归纳，下面以圆的几种动态变化题为例予以说明。
一、位置关系发生变化
1. 两圆位置关系发生变化
例1. 如图1，⊙、⊙外切于点P，A是⊙上一点，直线AC切⊙于点C，交⊙于点B，直线AP交⊙于点D。
（1）求证：PC平分BPD；
（2）将“⊙、⊙外切于点P”改为“⊙、⊙内切于点P”，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？并证明你的结论。
分析：由两圆相切可联想到作两圆的公切线，再利用弦切角定理、切线的性质定理和三角形内角和定理的推论可证得本题结论。第2问（1）中的结论仍然成立，证明过程留给大家思考完成。
2. 圆中点的位置发生变化
例2. 如图3，AB是半圆O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动（不与点M重合），点Q在半圆O上运动，且总保持PQ=PO，过点Q作⊙O的切线，交BA的延长线于点C。
（1）当时，请你对的形状做出猜想，并给出证明；
（2）当时，的形状是________三角形；
（3）由（1）（2）得出的结论，请进一步猜想，无论当点P在线段AM上运动到任何位置时，一定是________三角形。
分析：由题设条件容易联想到连结圆心和切点，构造直角三角形，再利用三角形内角和定理的推论和切线的性质求解。
二、圆的滚动
圆的滚动类问题大致可分为三类：一是圆在直线上滚动，二是圆在折线上滚动，三是圆在曲线（一般指圆或圆弧）上滚动。圆在不同的线上滚动会产生不同的情况，下面以圆在直线上滚动举例说明。
例3. 如图4，一枚直径为d的硬币沿着直线l滚动一圈，硬币的中心经过的距离是多少？
分析：圆从点A开始按顺时针方向沿直线l滚动一周到点B，线段AB的长度显然与圆的周长相等，即，因直线l与圆相切，故圆心经过的距离。
请同学们想一想，若该硬币从点A开始沿直线l按顺时针方向滚动n圈，圆心经过的距离是多少？
三、圆的扩张
例4. 如图5，等边三角形ABC的边长为6，若以点C为圆心的⊙C的半径r发生变化，从⊙C与各边的公共点个数之和n和r的取值范围考虑，有哪些情况？写出各种情况下n的值及相应r值的取值范围。
分析：作等边三角形ABC的高CD，可求得，于是r的讨论范围为，或（2）当r=6或
n=4。
同心圆的一组性质及应用
贾继荣
性质：
1. 同心圆中与小圆相切的大圆的弦被切点平分；
2. 同心圆中与小圆相切的大圆的弦都相等。
利用这两个结论，可以提示我们计算和证明同心圆中与特殊弦有关的问题。结论的具体证明过程请同学们自行完成。
例1. 如图1，两个同心圆的圆心为O，大圆的弦AB和AC分别和小圆相切于D和E，直线MN和大圆切于点A。
图1
求证：（1）；
（2）MN‖BC。
证明：（1）∵大圆的弦AB、AC与小圆分别切于D、E，由结论1，得：
AD=DB，AE=EC。
∴DE是△ABC的中位线，
∴。
（2）由结论2可得AB=AC，
∴∠B=∠C
∵MN与大圆相切于A，
∴∠MAB=∠C
∴∠B=∠MAB
∴MN‖BC。
例2. 如图2，在以O为圆心的两个同心圆中，A、B为大圆上任意两点，过A、B作小圆的割线ACD和BEF。
图2
求证：AC·AD=BE·BF
证明：过A、B分别作与小圆相切于M、N的大圆的弦AG、BH。
由“结论1、2”易知AM=BN。①
根据切割线定理，得
②
由①、②可证：AC·AD=BE·BF。
圆和正多边形点精
李晓洁
对于“圆和正多边形”这一单元的学习要求主要有：理解圆和正多边形的关系，了解正多边形的有关概念，能利用所学知识进行正多边形的边长、半径、边心距、中心角、周长、面积等有关的计算。中考单独考查正多边形主要有计算、作图、镶嵌、叠放、补形等问题。而在解有关圆和正多边形的问题时，尤其要注意向有关三角形特别是直角三角形问题的转化。由正多边形的半径、边心距及边长构成的直角三角形，是解决正多边形的有关计算问题的基本图形，它集中反映出了正多边形各元素间的关系，而弦心距恰好就是正多边形和圆之间的桥梁。
例1. 高为3的正三角形的内切圆半径是__________，外接圆半径是__________，边长是__________，面积是__________，外接圆的外切正三角形的边长是__________。
解：如图1，O为正三角形ABC的中心，设△ABC的外接圆半径为R，内切圆半径为r，则R=AO=2OD=2r。由AD=3，得AO=2，故R=2，且r=1。在Rt△ODB中，OB=R=2，易得，BC，故，因△EFG∽△ABC，且OB、OD分别为△EFG和△ABC的边心距，故，得GF。
图1
评注：由正多边形的对称性，易知点O为正三角形ABC的外接圆和内切圆的公共圆心。由于边数相同的正多边形均相似，所以在这些正多边形的有关对应线段或面积的计算时，常用相似比来联系。
例2. 已知正六边形中，两条互相平行的对边间的距离为d，求正六边形的面积。
解：如图2，易得边心距。
图2
∵∠AOB=60°，且OA=OB，∴△OAB是正三角形。
∴。
∴。
∴
评注：在有关正多边形的题目中，由正多边形的对称性可知正多边形的中心是一个特殊的极有价值的点，它可以和任何一条正多边形的边形成一个等腰三角形，并且这个等腰三角形的底边（正多边形的边）以及这个等腰三角形的三个内角（通过正多边形内角计算）均可以求得。
例3. 如图3，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，以AB为直径的半圆与⊙O的围成的阴影部分的面积为S1，如果正方形ABCD的面积为S，请判断S1与S之间具有怎样的关系，并说明理由。
图3
解：设⊙O的半径为R，弦AB与所围成的弓形面积为S2，易知∠AOB=90°，故。。
∵，
∴。
∴
又。
由
评注：对于数量关系探求型问题，有时可通过观察图形猜测，然后证明。本例需要通过计算获得的结果来确定数量关系。解题中运用了面积割补的方法。
例4. 已知边长为2的正方形内有5个全等的正八边形，如图4排列，求正八边形的边长。
解：设正八边形的边长为x，如图4。
图4
因△ADE为等腰直角三角形，DE=x，故x，
故。
又EF=GH=LM=x
∴
解得，即正八边形的边长为。
评注：在圆和正多边形的问题中，关键是转化思想的运用，如化复杂图形为简单图形，化多边形的问题为三角形的问题。
两圆外切的性质与应用
孙建洪
两圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种关系，当相切的两个圆，除了切点外，每个圆上的点都各在另一个圆的外部时，我们称这两个圆外切。而且外切关系是两圆位置关系中比较重要的一种关系，它具有的性质较多。
性质（1） 外切两圆的连心线必经过它们的切点，且两个圆心之间的距离d（圆心距）
等于两个圆的半径之和，即d=R+r
两圆外切，其中任一个圆的过两圆切点的切线，也必是另一个圆的切线，也就是说，
两个圆心及切点这三点共线。
例1 若两圆半径分别为R，r(R＞r)，其圆心距为d,且 ，则两圆的位置关系是__________.
解：因为
所以
所以
所以d=R+r(R+r=-d不合题意).
因此两圆的位置关系是外切.
二、外切的两圆，共有三条公切线，其中两条是外公切线，一条是内公切线，内公切线过两圆的切点且垂直于它们的连心线。
如图1，半径为r、R的⊙⊙外切，外公切线AB分别切⊙⊙于A、B，那么AB就是外公切线长。连，由切线性质知
可证得四边形ABCD为矩形，得
，
因此，，
而在RtΔ
性质(2) 外公切线长等于
两圆外切,经常添的辅助线是内公切线,因为内公切线可以产生两圆相等的弦切角,可将两圆的元素联系起来.
性质(3) 添内公切线是解决两圆外切问题的金钥匙.
例2 已知如图2, ⊙⊙外切于点C,PA切⊙于点A,交⊙于点P、D，直接PC交⊙于点B。
求证：AC平分∠BCD。
解：过C作⊙⊙的内公切线`MN交AP于M，所以∠MCD=∠P.
又PA切⊙于点A,
所以∠MAC=∠ACM,
所以∠ACB=∠P+∠MAC=∠MCD+∠MCA=∠DCA.
即AC平分∠BCD.
四.看下一例:如图3, ⊙⊙外切于点P,AB为两圆的外公切线,切点为A、B,求证为直角三角形.
解:过P作内公切线交AB于E,由切线长定理知EB=EP,EP=EA,即EB=EP=EA,根据定理(在一个三角形中,一边上的中线等于该边的一半,那么这个三角形是直角三角形)知为直角三角形.
此题中AB为外公切线与两圆的切点,P为两圆切点.
我们习惯上把称为切点三角形.
在关于两圆外切关系的几何证明题中,运用切点三角形来分析问题,解决问题,可以收到事半功倍的效果,它的应用在两圆外切中尤为重要.
性质(4) 切点三角形是直角三角形.
例4(重庆市中考题)如图4, ⊙⊙外切于点P,内公切线PC与外公切线AB(A、B分别是⊙⊙上的切点)相交于点C,已知⊙⊙的半径分别为3、4,则PC的长等于________.
分析:由于AB为外公切线,由性质(2)知
又由性质(4)知为直角在三角形且CP=CB=AC,故CP为斜边AB上的中线,因此
例5.如图5, ⊙⊙外切于点P,AB为两圆的外公切线,切点为A、B,连心线
⊙于C,交⊙于D,CA与DB的延长线相交于Q,求证:.
简析：连AP、BP,由上题知∠APB=Rt∠,又∠CAP=∠PBD=Rt∠,故由四边形内角和定理知∠Q=Rt∠,即
两圆外切关系的这些性质,在解题时要灵活的应用.在例4、例5中的切点三角形并不是现成有的,而是添线构造出来的,难度稍大些,因此脑子中对切点三角形这些性质必须有深刻的印象,才能举一反三,触类旁通.
旁切圆的性质及应用
杨惠珍
三角形的旁切圆是指与三角形的一边及另外两边的延长线都相切的圆，它的有关性质在中考和竞赛题中经常用到，但课本中几乎没有涉及，这给解题增添了不少麻烦。下面就来谈谈旁切圆的有关性质及应用。
1. 性质
如图1，⊙O切BC边于D，切AB、AC的延长线于E、F，那么：
图1
（1）OD=OE=OF；
（2）；
（3）。
事实上其逆命题也成立：
（4）如果O为∠A平分线上的一点，且
，
那么O为△ABC的旁切圆圆心（旁心）。
（5）如果O为∠A平分线上一点，OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，且，那么O为△ABC的旁切圆圆心（旁心）。
对于逆命题的证明如下：
如图2，过点O作OD⊥BC于D。
图2
因为O在∠A平分线上，
OE⊥AB，OF⊥AC，
所以 OE=OF。
在AC的延长线上截取FM=BE，
所以 Rt△BEO≌Rt△MFO，
所以。
因为 ，
又，
所以 ，
即 ，
所以 ∠BOC=∠COM，△BOC≌△MOC，
（若BE+CF=BC，即BC=CM，则也全等）
所以 ，
即 O在∠EBC的平分线上，
所以 O为△ABC的旁心。
2. 应用
例1. 如图3，EG、FG分别为∠MEF和∠NFE的平分线，交点为G，PB、PC分别为∠MBC和∠NCB的平分线，交点为P，如果∠G=60°，则∠P度数为________。
图3
解：因为G是∠MEF和∠NFE平分线交点，所以
G为△AEF的旁心，同理 P为△ABC旁心，
由性质（2），知
。
例2. 如图4，在正方形ABCD中，AB=1，是以B为圆心，AB为半径的圆的一段弧，点E是边AD上的任意一点（点E与A、D不重合），过E作所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点。
图4
（1）当∠DEF=45°时，
求证：G为线段EF中点。
（2）设AE=x，FC=y，求y关于x的函数解析式并写出自变量取值范围。
解：（1）因为⊙B与△DEF两边延长线EA、FC及第三边EF都相切，
所以 ⊙B为△DEF旁切圆，
AE=EG，FC=GF，
因为 ∠DEF=45°，∠D=90°，
所以 ∠DFE=45°
即 DE=DF，
故AE=FC，即EG=GF
（2）由于⊙B为△DEF旁切圆，由性质（3），得
，
因为 ，
由勾股定理，知
，
化简，得
例3. 如图5，梯形ABCD中，AD‖BC，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，E在DC上，AE、BC的延长线交于F，若AE=10，求。
图5
解：过B作BG⊥DA，垂足为G，显然BCDG为正方形，
BG=BC=12。
由此，知B在∠D的平分线上，
又。
由性质（4），得 B为△AED的旁切圆圆心，
根据性质（3），知 AG+EC=AE。
设AG=a，EC=b，则
a+b=10 ①
由AD2+DE2=AE2，得
②
由①、②，得
由Rt△ADE∽Rt△FCE，可求得
FC=3或FC=8，
所以
=54
或。
例4. 如图6，△ABC是边长为1的正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，与AB交于M，与AC交于N，连结MN。求证：△AMN的周长为2。
图6
解：由题设易知∠ABD=∠ACD=90°，且DB=DC，
故D是∠A平分线上一点。
又 。
故 D为△AMN的旁心。
由性质（3），知MN=BM+NC，
所以 △AMN的周长=AM+AN+MN
=AM+AN+MB+NC=2AB=2。
例5. 如图7，在五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，AB=CD=AE=BC+DE=1，则这个五边形面积为__________。
图7
解：由题设条件DE⊥AE，AB⊥BC，且AB=AE=1，联想到三角形旁切圆的性质，延长BC、ED交于点M，则有
A是∠DMC平分线上一点，
又 DC=DE+CB，
由性质（5），知 A为△DMC的旁切圆圆心，
过A作AH⊥DC，
由性质（1），知 AH=AB=AE=1，
又 BC+DE=CD，
所以
。
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