线性微分方程通解为何？

Question

如题所述

Answer 1

常系数线性齐次微分方程y"+y=0的通解为：y=（C1+C2 x）ex

故 r1=r2=1为其特征方程的重根，且其特征方程为 （r-1）2=r2-2r+1

故 a=-2，b=1

对于非齐次微分方程为y″-2y′+y=x

设其特解为 y*=Ax+B

代入y″-2y′+y=x 可得，0-2A+（Ax+B）=x

整理可得（A-1）x+（B-2A）=0

所以 A=1，B=2

所以特解为 y*=x+2

通解为 y=（C1+C2 x）ex +x+2

将y（0）=2，y（0）=0 代入可得

C1=0，C2=-1。

故所求特解为 y=-xex+x+2

故答案为-xex+x+2

扩展资料：

形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。一阶，指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。线性，指的是方程简化后的每一项关于y、y'的指数为1。

一般的凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的，叫常微分方程；未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。

Answer 2

一阶线性微分方程的通解：

形如dy/dx+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，其中，P(x)，Q(x)均为只含x的函数。

步骤：

方程两边同乘 e^(∫P(x)dx）。

得到： e^(∫P(x)dx）*dy/dx  +   e^(∫P(x)dx）*P(x)y  =   e^(∫P(x)dx）*Q(x)

[ y* e^(∫P(x)dx ] ’= e^(∫P(x)dx）*Q(x)

两边同时积分：     y * e^(∫P(x)dx）= ∫ {e^(∫P(x)dx）*Q(x)}

将e^(∫P(x)dx）*Q(x) 除过去就是一阶线性微分方程的通解了。你可以去尝试一下。

Answer 3

解：举个例子，微分方程为xy"+(x+4)y'+3y=4x+4，假设微分方程xy"+(x+4)y'+3y=0的特解为y=xʳ，将特解带入方程，有x(xʳ)"+(x+4)(xʳ)'+3xʳ=0，r(r-1)xʳ⁻¹+r(x+4)xʳ⁻¹+3xʳ=0，r(r-1)xʳ⁻¹+4rxʳ⁻¹+rxʳ+3xʳ=0，(r²+3r)+(r+3)x=0，(r+3)(r+x)=0，得：r=-3，则微分方程xy"+(x+4)y'+3y=0的特解为y=x⁻³，再设微分方程的通解为y=x⁻³u，有x(x⁻³u)"+(x+4)(x⁻³u)'+3x⁻³u=0，x(x⁻³u"-3x⁻⁴u'-3x⁻⁴u'+12x⁻⁵u)+(x+4)(x⁻³u'-3x⁻⁴u)+3x⁻³u=0，x(x⁻³u"-6x⁻⁴u'+12x⁻⁵u)+(x+4)(x⁻³u'-3x⁻⁴u)+3x⁻³u=0，x²u"-6xu'+12u+(x+4)(xu'-3u)+3xu=0，x²u"+(x²-2x)u'=0，u"×eˣ/x²+eˣ(1/x²-2/x³)u'=0，(u'eˣ/x²)'=0，u'eˣ/x²=a(a为任意常数)，u'=ax²e⁻ˣ，u=-ax²e⁻ˣ-2axe⁻ˣ-2ae⁻ˣ+c(为任意常数)，微分方程xy"+(x+4)y'+3y=0的通解为y=(-ax⁻¹-2ax⁻²-2ax⁻³)e⁻ˣ+cx⁻³(c为任意常数)；设原微分方程的特解为y=px+q，有p(x+4)+3(px+q)=4x+4，4px+4p+3q=4x+4，有4p=4，4p+3q=4，得：p=1，q=0，微分方程的特解为y=x，通解为y=(-ax⁻¹-2ax⁻²-2ax⁻³)e⁻ˣ+cx⁻³+x