法律分析：一般条件下，银行应该会通知单位的。
法律依据：《财政部 办公厅 中国人民银行办公厅关于进一步明确单位公务卡试点工作有关事项的通知》
一、办理单位公务卡的预算单位包括纳入预算管理的国家机关、事业单位和团体组织，不包括企业。代理银行不得向非单位公务卡发卡对象发放单位公务卡。
二、预算单位申请办理单位公务卡，应向代理银行出具标注“统一社会信用代码”的登记证书、持卡人身份证件，以及由单位盖章和法定代表人(或授权代理人)签章的《单位公务卡申请表》。
十一、代理银行应按季度统计单位公务卡办理情况，并于每季度结束后10个工作日内向当地财政部门和人民银行分支机构报备(报备表格式附后)。报备信息内容应准确、无遗漏。
十二、请试点地区财政部门、人民银行分支机构将本通知联合转发辖区内有关公务卡代理银行。