多元函数的问题

Question

1.求证函数F(x,y)=xy满足关系式F(ax+by,cu+dv)=acF(x,u)+bcF(y,u)+adF(x,v)+bdF(y,v。
2.如何很快的求出函数在何处间断。
例如z=(y^2+2x)/(y^2-2x)
3.求x=1/2(1+√3),y=1/2(1-√3)时,函数z=[arctg(x+y)/arctg(x-y)]^2
答案我都知道，需要详细过程，谢谢。

Answer 1

1、令s=ax+by,t=cu+dv,则有
F(ax+by,cu+dv)=F(s,t)=st=(ax+by)(cu+dv)
=ac(xu)+bc(yu)+ad(xv)+bd(yv)
=acF(x,u)+bcF(y,u)+adF(x,v)+bdF(y,v)
2、函数的间断点即是不连续点，一般来说，如果函数中分母部分有变量出现的，就有可能有间断点；如果是分段函数，则在区间边界的点也可能为间断点。
就本题来说，分母为零，即y^2-2x=0,所以说函数z在曲线x=0.5y^2上是不连续的。
3、z=[(pi/4)/(pi/3)]^2=9/16

Answer 2

1、令s=ax+by,t=cu+dv,则有
F(ax+by,cu+dv)=F(s,t)=st=(ax+by)(cu+dv)
=ac(xu)+bc(yu)+ad(xv)+bd(yv)
=acF(x,u)+bcF(y,u)+adF(x,v)+bdF(y,v)

Answer 3

（s0302102）证法错误：
1.证明中用到
f(a)+f(aq^2)-2f(aq) =f(a)+((f(a))^q)^2 - 2(f(a))^q
事实上 f(aq^2)=f(a)^(q^2) 而不是((f(a))^q)^2
2.证明中用到
f(a)+((f(a))^q)^2 - 2(f(a))^q
>1+((f(a))^q)^2 - 2(f(a))^q
得出这个式子 大概是认为a>1>1/3 所以 f(a)>f(1/3) 所以 f(a)>1
而认为a>1>1/3 是没有道理的。

正解：

设i=logf(c)(底数为f(a)) (因为f(x)恒大于0,所以才可以随便取对数)
即f(c)=f(a)^i
因为[f(x)]^y=f(xy)
所以f(a*c)=f(a)^c=f(c)^a
两边同时取以f(a)为底的对数得
c=log(f(c)^a)
=log(f(a)^(i*a)) (将f(c)=f(a)^i代入）
=i*a

f(a)+f(c)>=2√(f(a)*f(c))
右边的根号下可化为
f(a)*f(a)^i=[f(a)]^(1+i) 又[f(x)]^y=f(xy)
=f(a*(1+i))
=f(a+a*i)
=f(a+c)
即f(a)+f(c)>=2√f(a+c)

a+c>=2√(a*c)=2b
又因为f(x)为增函数
所以f(a+c)>=f(2b)

所以f(a)+f(c)>=2√f(2b)
=2f(2b)^(1/2)
=2f(b)
即f(a)+f(c)>=2f(b)

命题得证。
或
1、令s=ax+by,t=cu+dv,则有
F(ax+by,cu+dv)=F(s,t)=st=(ax+by)(cu+dv)
=ac(xu)+bc(yu)+ad(xv)+bd(yv)
=acF(x,u)+bcF(y,u)+adF(x,v)+bdF(y,v)
2、函数的间断点即是不连续点，一般来说，如果函数中分母部分有变量出现的，就有可能有间断点；如果是分段函数，则在区间边界的点也可能为间断点。
就本题来说，分母为零，即y^2-2x=0,所以说函数z在曲线x=0.5y^2上是不连续的。
3、z=[(pi/4)/(pi/3)]^2=9/16