已知函数f(x)=x 2 +ax+b,当p,q满足p+q=1时,证明:pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)对于任意实数x,y都成立的充要条件

Question

已知函数f(x)=x 2 +ax+b,当p,q满足p+q=1时,证明:pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)对于任意实数x,y都成立的充要条件是0≤p≤1.

Answer 1

见解析

证明:pf(x)+qf(y)-f(px+qy) =p(x 2 +ax+b)+q(y 2 +ay+b)-(px+qy) 2 -a(px+qy)-b =p(1-p)x 2 +q(1-q)y 2 -2pqxy =pq(x-y) 2 (因为p+q=1). 充分性:若0≤p≤1,q=1-p∈[0,1]. 所以pq≥0,所以pq(x-y) 2 ≥0, 所以pf(x)+qf(y)≥f(px+qy). 必要性:若pf(x)+qf(y)≥f(px+qy), 则pq(x-y) 2 ≥0, 因为(x-y) 2 ≥0,所以pq≥0. 即p(1-p)≥0,所以0≤p≤1. 综上,原命题成立.