（2013年四川绵阳14分）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很

Question

（2013年四川绵阳14分）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题： （1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明： ；（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足 ，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），S 四边形BCHG ，S △ AGH 分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究 的最大值．

Answer 1

解：（1）证明：如答图1所示，连接CO并延长，交AB于点E， ∵点O是△ABC的重心，∴CE是中线，点E是AB的中点。 ∴DE是中位线。∴DE∥AC，且DE= AC。 ∵DE∥AC，∴△AOC∽△DOE。 ∴ 。 ∵AD=AO+OD， ∴ 。 （2）答：点O是△ABC的重心。证明如下： 如答图2，作△ABC的中线CE，与AD交于点Q， 则点Q为△ABC的重心。 由（1）可知，    ， 而 ， ∴点Q与点O重合（是同一个点）。 ∴点O是△ABC的重心。 （3）如答图3所示，连接DG． 设S △ GOD =S，由（1）知 ，即OA=2OD， ∴S △ AOG =2S，S △ AGD =S △ GOD +S △ AGO =3S。 为简便起见，不妨设AG=1，BG=x，则S △ BGD =3xS． ∴S △ ABD =S △ AGD +S △ BGD =3S+3xS=（3x+3）S。 ∴S △ ABC =2S △ ABD =（6x+6）S。 设OH=k?OG，由S △ AGO =2S，得S △ AOH =2kS， ∴S △ AGH =S △ AGO +S △ AOH =（2k+2）S。 ∴S 四边形BCHG =S △ ABC ﹣S △ AGH =（6x+6）S﹣（2k+2）S=（6x﹣2k+4）S。 ∴  ①。 如答图3，过点O作OF∥BC交AC于点F，过点G作GE∥BC交AC于点E，则OF∥GE。 ∵OF∥BC，∴ 。∴OF= CD= BC。 ∵GE∥BC，∴ 。∴ 。 ∴ ，∴ 。 ∵OF∥GE，∴ 。∴ ，即 。 ∴ ，代入①式得： 。 ∴当x= 时， 有最大值，最大值为 。

（1）如答图1，作出中位线DE，证明△AOC∽△DOE，可以证明结论。 （2）如答图2，作△ABC的中线CE，与AD交于点Q，则点Q为△ABC的重心．由（1）可知， ，而已知 ，故点O与点Q重合，即点O为△ABC的重心。 （3）如答图3，利用图形的面积关系，以及相似线段间的比例关系，求出 的表达式，这是一个二次函数，利用二次函数的性质求出其最大值。