泰勒公式确定关于x的无穷小阶数 问题

Question

问题：这个题目就感觉是自问自答的感觉，因为泰勒公式 如果我展开的次数为2，那么无穷小阶数为2，如果我展开的次数选择为n，那么无穷小阶数为n 这样题目还有意义吗？
它是在求x->0时 关于x的最小阶数，但你说 “它与x^n次方的比值就不一定是一个常数（可能不能完全消去其他次数的项）” ，比值就不一定是个常数 ，还有不能完全消掉其它次数的项，这个跟最小阶数有什么联系吗？

Answer 1

不是这样的，如果你展开到三次，四次或五次甚至n次，它与x^n次方的比值就不一定是一个常数（可能不能完全消去其他次数的项），这样就不符合K阶无穷小的概念了追问

首先谢谢你的回复。
它是在求x->0时 关于x的最小阶数，但你说 “它与x^n次方的比值就不一定是一个常数（可能不能完全消去其他次数的项）” ，比值就不一定是个常数 ，还有不能完全消掉其它次数的项，这个跟最小阶数有什么联系吗？

追答

你要查看k阶无穷小的概念啊，如果limB/A^k=c，c不等于0，k>0，就说B是A的k阶无穷小。其实题目的意思就是让你用泰勒公式展开两个有根号的式子，看最早在什么时候可以化简成一个只含有一项关于x^n的式子。这样根据定义就可以确定原式关于x的最小阶数了。所以说，不是你展开的次数是n，无穷小阶数为n的。你试一下泰勒展开到三次，化简后再除以x^3,得到的并不是常数，而是一个多项式。可能我讲得不够清楚吧。。。

追问

哦哦，明白了，但是这个结果是唯一的吗，只能确定这个2阶是最小阶数的，但是无法确定其是唯一的。这个计算量太大，后面有没有也不好验证了。

追答

它说是求最小阶数，答案是唯一的，但是也可能有其它的阶数哦