在长方体 中， ，过 、 、 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体 ，且这个几何体

Question

在长方体 中， ，过 、 、 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体 ，且这个几何体的体积为 ． （1）求棱 的长；（2）若 的中点为 ，求异面直线 与 所成角的余弦值.

Answer 1

（1）3（2）

本题主要考查了点，线和面间的距离计算．解题的关键是利用了法向量的方法求点到面的距离。 （1）因为）设 ，由题设 ，可知棱长。 （2）因为在长方体中 // ， 所以 即为异面直线 与 所成的角（或其补角） 那么借助于三角形求解得到结论。 解：（1）设 ，由题设 ， 得 ，即 ，解得 ． 故 的长为 ．   ……………………………6分 （2）因为在长方体中 // ， 所以 即为异面直线 与 所成的角（或其补角）．…………………………8分 在△ 中，计算可得 ，则 的余弦值为 。……………12分