在锐角△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c.作CH⊥AB垂足为点H
CH=a·sinB
CH=b·sinA
∴a·sinB=b·sinA
得到
a/sinA=b/sinB
同理,在△ABC中,
b/sinB=c/sinC
步骤2.
证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R:
如图,任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.
作直径BD交⊙O于D.
连接DA.
因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.
所以c/sinC=c/sinD=BD(直径)=2R
正弦定理是三角学中的一个定理。它指出了三角形三边、内角以及外接圆半径之间的关系。
证明过程及方法见图:
正弦定理的扩展公式:
(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC;
(2) sinA : sinB : sinC = a : b : c;
(3)相关结论:
a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)
(4)设R为三角外接圆半径,公式可扩展为:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时,所对的边为外接圆的直径。
sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R
asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA.
任意三角形ABC,作ABC的外接圆O。
作直径BD交⊙O于D。
连接DA
因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度。
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C。
所以c/sinC=c/sinD=BD(直径)=2R。
三角形角的性质:
1、在平面上三角形的内角和等于180°(内角和定理)。
2、在平面上三角形的外角和等于360° (外角和定理)。
3、在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。
4、一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。
5、在三角形中至少有一个角大于等于60度,也至少有一个角小于等于60度。
6、 在一个直角三角形中,若一个角等于30度,则30度角所对的直角边是斜边的一半。
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作直径BD交⊙O于D。
连接DA
因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C
所以c/sinC=c/sinD=BD(直径)=2R
扩展资料:
一般地,把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。正弦定理是解三角形的重要工具。
在解三角形中,有以下的应用领域:
已知三角形的两角与一边,解三角形。
已知三角形的两边和其中一边所对的角,解三角形。
运用a:b:c=sinA:sinB:sinC解决角之间的转换关系。
参考资料来源:百度百科-正弦定理
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