第1个回答 2016-03-01
一元一次方程应用题是初一数学学习的重点,也是一个难点.主要困难体现在两个方面：一是难以从实际问题中找出相等关系,列出相应的方程；二是对数量关系稍复杂的方程,常常理不清楚基本量,也不知道如何用含未知数的式子来表示出这些基本量的相等关系,导致解题时无从下手.
事实上,方程就是一个含未知数的等式.列方程解应用题,就是要将实际问题中的一些数量关系用这种含有未知数的等式的形式表示出来.而在这种等式中的每个式子又都有自身的实际意义,它们分别表示题设中某一相应过程的数量大小或数量关系.由此,解方程应用题的关键就是要“抓住基本量,找出相等关系”.
下面就一元一次方程中常见的几类应用题作逐一讲评,供同学们学习时参考.
1.行程问题
行程问题中有三个基本量：路程、时间、速度.关系式为：①路程=速度×时间；②速度=；③时间=.
可寻找的相等关系有：路程关系、时间关系、速度关系.在不同的问题中,相等关系是灵活多变的.如相遇问题中多以路程作相等关系,而对有先后顺序的问题却通常以时间作相等关系,在航行问题中很多时候还用速度作相等关系.
航行问题是行程问题中的一种特殊情况,其速度在不同的条件下会发生变化：①顺水（风）速度=静水（无风）速度+水流速度（风速）；②逆水（风）速度=静水（无风）速度－水流速度（风速）.由此可得到航行问题中一个重要等量关系：顺水（风）速度－水流速度（风速）＝逆水（风）速度+水流速度（风速）＝静水（无风）速度.
例1．某队伍450米长,以每分钟90米速度前进,某人从排尾到排头取东西后,立即返回排尾,速度为3米/秒.问往返共需多少时间?
讲评：这一问题实际上分为两个过程：①从排尾到排头的过程是一个追及过程,相当于最后一个人追上最前面的人；②从排头回到排尾的过程则是一个相遇过程,相当于从排头走到与排尾的人相遇.
在追及过程中,设追及的时间为x秒,队伍行进（即排头）速度为90米/分=1.5米/秒,则排头行驶的路程为1.5x米；追及者的速度为3米/秒,则追及者行驶的路程为3x米.由追及问题中的相等关系“追赶者的路程－被追者的路程=原来相隔的路程”,有：
3x－1.5x=450 ∴x=300
在相遇过程中,设相遇的时间为y秒,队伍和返回的人速度未变,故排尾人行驶的路程为1.5y米,返回者行驶的路程为3y米,由相遇问题中的相等关系“甲行驶的路程+乙行驶的路程=总路程”有： 3y+1.5y=450 ∴y=100
故往返共需的时间为 x+y=300+100=400（秒）
例2 汽车从A地到B地,若每小时行驶40km,就要晚到半小时：若每小时行驶45km,就可以早到半小时.求A、B 两地的距离.
讲评：先出发后到、后出发先到、快者要早到慢者要晚到等问题,我们通常都称其为“先后问题”.在这类问题中主要考虑时间量,考察两者的时间关系,从相隔的时间上找出相等关系.本题中,设A、B两地的路程为x km,速度为40 km/小时,则时间为小时；速度为45 km/小时,则时间为小时,又早到与晚到之间相隔1小时,故有
－ = 1 ∴ x = 360
例3 一艘轮船在甲、乙两地之间行驶,顺流航行需6小时,逆流航行需8小时,已知水流速度每小时2 km.求甲、乙两地之间的距离.
讲评：设甲、乙两地之间的距离为x km,则顺流速度为km/小时,逆流速度为km/小时,由航行问题中的重要等量关系有：
－2= +2 ∴ x = 96
2.工程问题
工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间.关系式为：①工作量=工作效率×工作时间.②工作时间=,③工作效率=.
工程问题中,一般常将全部工作量看作整体1,如果完成全部工作的时间为t,则工作效率为.常见的相等关系有两种：①如果以工作量作相等关系,部分工作量之和=总工作量.②如果以时间作相等关系,完成同一工作的时间差=多用的时间.
在工程问题中,还要注意有些问题中工作量给出了明确的数量,这时不能看作整体1,此时工作效率也即工作速度.
例4． 加工某种工件,甲单独作要20天完成,乙只要10就能完成任务,现在要求二人在12天内完成任务.问乙需工作几天后甲再继续加工才可正好按期完成任务?
讲评：将全部任务的工作量看作整体1,由甲、乙单独完成的时间可知,甲的工作效率为,乙的工作效率为,设乙需工作x 天,则甲再继续加工（12－x）天,乙完成的工作量为,甲完成的工作量为,依题意有 +=1 ∴x =8
例5． 收割一块麦地,每小时割4亩,预计若干小时割完.收割了后,改用新式农具收割,工作效率提高到原来的1.5倍.因此比预计时间提前1小时完工.求这块麦地有多少亩?
讲评：设麦地有x亩,即总工作量为x亩,改用新式工具前工作效率为4亩/小时,割完x亩预计时间为小时,收割亩工作时间为/4=小时；改用新式工具后,工作效率为1.5×4=6亩/小时,割完剩下亩时间为/6=小时,则实际用的时间为（+）小时,依题意“比预计时间提前1小时完工”有
－（+）=1 ∴ x =36
例6. 一水池装有甲、乙、丙三个水管,加、乙是进水管,丙是排水管,甲单独开需10小时注满一池水,乙单独开需6小时注满一池水,丙单独开15小时放完一池水.现在三管齐开,需多少时间注满水池?
讲评：由题设可知,甲、乙、丙工作效率分别为、、－（进水管工作效率看作正数,排水管效率则记为负数）,设x小时可注满水池,则甲、乙、丙的工作量分别为,、－,由三水管完成整体工作量1,有 +－＝1 ∴ x = 5
3．经济问题
与生活、生产实际相关的经济类应用题,是近年中考数学创新题中的一个突出类型.经济类问题主要体现为三大类：①销售利润问题、②优惠（促销）问题、③存贷问题.这三类问题的基本量各不相同,在寻找相等关系时,一定要联系实际生活情景去思考,才能更好地理解问题的本质,正确列出方程.
⑴销售利润问题.利润问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率.基本关系式有：①利润=销售价（收入）－成本（进价）【成本（进价）=销售价（收入）－利润】；②利润率=【利润=成本（进价）×利润率】.在有折扣的销售问题中,实际销售价=标价×折扣率.打折问题中常以进价不变作相等关系.
⑵优惠（促销）问题.日常生活中有很多促销活动,不同的购物（消费）方式可以得到不同的优惠.这类问题中,一般从“什么情况下效果一样分析起”.并以求得的数值为基准,取一个比它大的数及一个比它小的数进行检验,预测其变化趋势.
⑶存贷问题.存贷问题与日常生活密切相关,也是中考命题时最好选取的问题情景之一.存贷问题中有本金、利息、利息税三个基本量,还有与之相关的利率、本息和、税率等量.其关系式有：①利息=本金×利率×期数；②利息税=利息×税率；③本息和（本利）=本金+利息－利息税.
例7.某商店先在广州以每件15元的价格购进某种商品10件,后来又到深圳以每件12.5元的价格购进同样商品40件.如果商店销售这种商品时,要获利12％,那么这种商品的销售价应定多少?
讲评：设销售价每件x 元,销售收入则为（10+40）x元,而成本（进价）为（5×10+40×12.5）,利润率为12％,利润为（5×10+40×12.5）×12％.由关系式①有
（10+40）x－（5×10+40×12.5）=（5×10+40×12.5）×12％ ∴x=14.56
例8.某种商品因换季准备打折出售,如果按定价七五折出售,则赔25元,而按定价的九折出售将赚20元.问这种商品的定价是多少?
讲评：设定价为x元,七五折售价为75％x,利润为－25元,进价则为75％x－（－25）=75％x+25；九折销售售价为90％x,利润为20元,进价为90％x－20.由进价一定,有
75％x+25=90％x－20 ∴ x = 300
例9. 李勇同学假期打工收入了一笔工资,他立即存入银行,存期为半年.整存整取,年利息为2.16％.取款时扣除20％利息税.李勇同学共得到本利504.32元.问半年前李勇同学共存入多少元?
讲评：本题中要求的未知数是本金.设存入的本金为x元,由年利率为2.16％,期数为0.5年,则利息为0.5×2.16％x,利息税为20％×0.5×2.16％x,由存贷问题中关系式③有 x +0.5×2.16％x－20％×0.5×2.16％x=504.32 ∴ x = 500
例10.某服装商店出售一种优惠购物卡,花200元买这种卡后,凭卡可在这家商店8折购物,什么情况下买卡购物合算?
讲评：购物优惠先考虑“什么情况下情况一样”.设购物x元买卡与不买卡效果一样,买卡花费金额为（200+80％x）元,不买卡花费金额为x元,故有
200+80％x = x ∴ x = 1000
当x ＞1000时,如x=2000 买卡消费的花费为：200+80％×2000=1800（元）
不买卡花费为：2000（元 ） 此时买卡购物合算.
当x ＜1000时,如x=800 买卡消费的花费为：200+80％×800=840（元）
不买卡花费为：800（元） 此时买卡不合算.
4.溶液（混合物）问题
溶液（混合物）问题有四个基本量：溶质（纯净物）、溶剂（杂质）、溶液（混合物）、浓度（含量）.其关系式为：①溶液=溶质+溶剂（混合物=纯净物+杂质）；②浓度=×100％=×100％【纯度（含量）=×100％=×100％】；③由①②可得到：溶质=浓度×溶液=浓度×（溶质+溶剂）.在溶液问题中关键量是“溶质”：“溶质不变”,混合前溶质总量等于混合后的溶质量,是很多方程应用题中的主要等量关系.
例11.把1000克浓度为80％的酒精配成浓度为60％的酒精,某同学未经考虑先加了300克水.⑴试通过计算说明该同学加水是否过量?⑵如果加水不过量,则应加入浓度为20％的酒精多少克?如果加水过量,则需再加入浓度为95％的酒精多少克?
讲评：溶液问题中浓度的变化有稀释（通过加溶剂或浓度低的溶液,将浓度高的溶液的浓度降低）、浓化（通过蒸发溶剂、加溶质、加浓度高的溶液,将低浓度溶液的浓度提高）两种情况.在浓度变化过程中主要要抓住溶质、溶剂两个关键量,并结合有关公式进行分析,就不难找到相等关系,从而列出方程.
本题中,⑴加水前,原溶液1000克,浓度为80％,溶质（纯酒精）为1000×80％克；设加x克水后,浓度为60％,此时溶液变为（1000+x）克,则溶质（纯酒精）为（1000+x）×60％克.由加水前后溶质未变,有（1000+x）×60％=1000×80％
∴x = ＞300 ∴该同学加水未过量.
⑵设应加入浓度为20％的酒精y克,此时总溶液为（1000+300+y）克,浓度为60％,溶质（纯酒精）为（1000+300+y）×60％；原两种溶液的浓度分别为1000×80％、20％y,由混合前后溶质量不变,有（1000+300+y）×60％=1000×80％+20％ ∴ y=50