AI数学拾遗 | 特征降维方法之主成分分析（PCA)

Question

如题所述

Answer 1

主成分分析（PCA）是一种常用无监督降维方法，旨在通过识别并剔除原始数据中冗余信息，实现数据维度的减少。在数据收集过程中，各特征维度往往并非完全独立。例如，当我们依据西瓜大小分类时，并不需要了解圆周率；测量西瓜直径和周长，任取其一即可不损失信息。此外，数据中某些特征在样本间差异显著，而其他特征则差异较小，意味着后者可能包含冗余信息。

主成分分析的核心在于构建一系列正交向量，即对原始数据进行投影变换后的坐标轴。这些轴通过旋转、拉伸操作，将冗余维度压缩，形成一个更紧凑的表示。新维度之间互不相关，构成数据信息的有效组成部分，按照数据点在轴上分布的方差降序排列，即为主成分。方差越大，信息量越大，表明主成分越重要。

从数学角度出发，观测到的数据向量可在原始特征空间中表示，通过线性模型将其投影到较低维空间，实现数据的降维。为减小信息损失，通常选择使重建后的数据与原始数据最接近的方法。通过最小化重建误差，得到一系列解空间，即零空间，表明新的坐标系与原始均值对齐。进一步展开和简化重建误差目标函数，将其转换为最大化样本在新坐标系各轴上方差的优化问题。

应用拉格朗日乘子法解决优化问题，得到优化目标函数的解为协方差矩阵的特征向量，以及对应的特征值。特征值表示在新坐标系上样本方差的大小，因此降维时应选择特征值较大的特征向量。实际操作中，降维后的维度作为超参数，通过分类器模型的交叉验证进行选择。

PCA的实际操作分为数据预处理、协方差矩阵计算、特征向量与特征值提取等步骤。首先对数据进行均值规范化，计算协方差矩阵并进行对角化，获取特征向量与特征值。根据特征值大小选择前k个特征向量，构建降维后的数据表示。值得注意的是，PCA通过计算协方差矩阵实现降维，而奇异值分解（SVD）方法则不需此步骤，直接从数据矩阵中提取关键信息，简化计算过程。SVD分解结果的性质决定了其与PCA结果的等价性。

本文基于《统计学习基础》（ESL）中对PCA的定义，详细解释了PCA的核心原理与实际操作步骤，旨在为读者提供深入理解PCA方法的理论基础与应用技巧。