本文译自数学家J. Dieudonne所写的《代数几何的历史演进》，仅供学习参考。现代代数几何在复杂度上被视作数学中的一个极佳领域，它融合了数学众多分支的精髓，并在看似远隔的理论中发挥关键作用。它与数论一道，是历史最悠久、最错综复杂且每一代数学家都为之倾注心力的领域之一，同时也是最为活跃的研究领域。如果以希尔伯特的观点来衡量，现代代数几何和数论未解之谜多于已解，而每一步进展都会引发一系列令人兴奋的新方法。
为了理解代数几何的历史，我们不妨将它视为一幅二维图像，其中主题（theme）和时期（periods）交织成多彩线条。然而，我们必须意识到，这种表现手法不可避免地会扭曲事实，因为这些主题之间始终相互影响，任何一种分期方法都注定失败，因为这些时期几乎总是重叠的。
代数几何的主要思想大致可以分为以下几个主题：
（A）与（B）：分类与变换是无法分离的概念，因为代数簇的中心思想是将那些可以通过某种“变换”互相推导的代数簇归为一类。不变量、代数不变量与几何不变量（如维数、次数、亏格等）以及明确并扩展了含糊的“变换”概念的对应与态射都是属于这些主题的内容。
（C）无限接近点：奇点的定义与分类，相交“重数”的正确解释，后来是线性系统的“基点”概念，以及最近引入的有幂零元的环，都是这一主题的核心。
（D）拓展标量：在寻找奇点的道路上，复点与广点的概念引入，成为基变换的中心思想的先兆，被认为是代数几何最具特征性的特点。
（E）拓展空间：有效的另一套方法，从特例的混乱中提炼出可理解的成果，如射影几何与n维几何为现代抽象代数簇和概型的概念奠定了基础。
（F）代数几何中的分析与拓扑：数学分支之间的启发，如Riemann对Riemann曲面概念的引入、发明代数拓扑以及展示这些想法如何彻底刷新了代数曲线和曲面论，一百年后，纤维丛、层以及其上同调的概念被引入，A. Weil展示了使用层处理复流形的有效性。
（G）交换代数与代数几何：自Riemann引入曲线上的有理函数域以来，Kronecker、Dedekind和Weber引入理想与除子概念，交换代数成为了代数几何学家的主要工作工具。
历史上的亮点需要在深入研究中由读者自行探索，大量重要进展在此篇幅内无法详述。
第一个时期：前史（约公元前400 BC - 1630 AD）
尽管希腊人将几何视为一门演绎科学，但他们从未尝试将几何与代数分离。相反，他们用几何方法解决代数问题，如圆锥曲线的发明，这是继直线和圆之后研究的第一种曲线。希腊人能用简单的方法构造方程的根，例如将方程写为比例。Menechmus提出用两个方程的曲线轨迹来求解问题，这似乎包含了代数几何的知识。希腊人使用坐标系，尤其是在Apollonius的圆锥曲线论中，尽管他们没有达到Descartes和Fermat的主要观点。
早在公元前5世纪，就已经有人使用曲线的交点来解方程，这导致了许多曲线的发明。除了平面和球面，希腊人还研究了一些旋转曲面和二次曲面，甚至尝试参数化表示。Eudoxus在天文学著作中使用圆柱和球面相交描述运动轨迹，这是第一个曲线参数化表示的例子。
第二个时期：探索（约1630-1795）
这个时期的开始清晰可界定，Fermat和Descartes独立发明了解析几何，这是代数几何真正的诞生。与希腊人使用坐标的方法相比，主要创新在于所有曲线（固定和可变的）都使用相同坐标轴描述，且Viete和Descartes的代数符号允许考虑任意方程。在这一框架下，代数曲线与超越曲线之间的差异立即显现。Fermat理解维数的概念，Newton清楚地分类了二次曲面以及二次曲面的交定义的skew curves。曲线的参数表示为Newton通向微积分的基石，Euler已经知道如何从一个曲线的Descartes方程中找出参数表示。
对平面代数曲线相交问题的研究由Newton解决，他和Leibniz对消元过程有清晰的认识，这一过程展示了两个具有相同变量的代数方程有公共根的事实。Newton注意到，两个次数分别为m和n的曲线交点的横坐标可以通过一个次数不超过mn的方程给出。这个结果在18世纪被不断改进，直到Bezout使用改良的消元法证明了一般情况下交点坐标的方程次数恰好是mn。但是，给每个交点赋予一个整数以度量其相交的“重数”，在那时还没有进行过一般性的研究。
考虑代数曲线的代数族时，出现了与相交问题相反的问题，即给定足够多的点，确定一条n次曲线。线性问题正是行列式理论的出发点，表明了n个“一般位置”的点完全决定了一条n次曲线，两条n次曲线一般有n个交点，为线性方程组的秩概念提供了最早的一般性例子。
第三个时期：“射影几何的黄金时期”（约1795-1850）
这一时期始于Monge和他的学派的工作，特别是Poncelet的引入，使无穷远点和虚点的概念被引入。新的时代开始，几何一词在接下来大约100年内专指复射影平面或空间中的几何。圆锥曲线论、二次曲面论、圆锥曲线和二次曲面的线性族理论成为这些新观点的主要受益者。射影几何利用齐次坐标取得了坚实的代数基础，射影学派倾向于尽量减少代数计算，转而依靠一些不需要费力验证的启发性原则。他们研究的变换大多是线性的，如圆锥曲线论中将一条圆锥曲线视为通过两个定点的两条动直线的轨迹。
射影学派后来的代表人物如Chasles、Steiner和von Staudt沉醉于方法的优雅，甚至坚称几何应与代数决裂。尽管如此，他们的努力未能走远，可能阻碍了人们领悟线性代数在经典几何中的重要性，但为“抽象”代数几何的发展铺平了道路。
代数曲线和曲面的一般理论中，Riemann之前研究的主要问题具有枚举特征，如确定与5个处于一般位置的圆锥曲线相切的圆锥曲线数量。Chasles、Schubert和Zeuthen基于直觉概念提出半经验公式解决这类问题。引入的“相切”不变量，如类、拐点数量、双切线数量等，达到顶峰。
第四个时期：“Riemann和双有理几何”（约1850-1866）
Riemann在代数几何历史中的重要性难以高估，但他的两个主要贡献通过Abel积分的“超越”方法以及曲线上的有理函数域的引入，建立于前一个时期的成果之上。
Abel积分起源于椭圆弧长的研究，Fagnano和Euler发现积分可以被简化为关于变量和参数的代数函数和有理或对数函数。Abel将其推广到任意代数函数，定义了所谓的Abel积分，揭示了积分值的周期性。尽管Abel的工作在分析框架内进行，他对射影几何的理解有限，没有清晰地认识到复平面上积分的概念。
1851年，Riemann开始研究这一领域，他将Cauchy的理论扩展到他引入的“曲面”上，这远远超越了同时代的概念。尽管Riemann的理论解释者在接下来的30年里还在努力理解，但Riemann使用他的概念研究Abel积分的途径极具创新性。
总结历史，代数几何从希腊人的几何代数结合，到解析几何的发明，再到射影几何的黄金时期，直至Riemann的贡献，见证了数学方法的不断演化与创新。在每个时期，数学家们都在探索、解决与抽象化几何概念，为这一领域的发展奠定了基础。
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