为什么定积分可以求面积?

Question

如题所述

Answer 1

定义面积的概念始于对二维空间的测量，从一维的长度到三维的体积，统称为集合在欧几里得空间中的测度。理想情况下，每个集合都能指派一个非负数值作为其长度、面积、体积等。但遗憾的是，无法对所有集合定义合理测度，存在不可测集合。为解决此问题，我们定义可测集合，并在这些集合上定义测度。

首先定义区间、盒子和elementary集合。区间指特定形式的子集，盒子是区间的一种组合形式，elementary集合为有限盒子的并集。elementary测度适用于elementary集合，直观上与长度、面积、体积定义一致。

接着引入Jordan测度，该测度适用于几乎elementary的集合。Jordan测度在有限个elementary集合的近似下定义，与我们的几何测量概念相符。

Riemann积分与面积的关系体现在积分定义上。Riemann积分实质上是函数图像下面积的近似，定义涉及分法和区间划分。Darboux积分则提供了更为严格的积分定义，且Riemann积分与Darboux积分等价，其值相等。

最后，通过命题阐述Riemann积分与面积的等价性，证明Riemann可积函数对应的集合在Jordan测度下可测，并且函数图像下的面积可以通过积分计算得到。此结果直观地解释了Riemann积分为何能够求解面积。