矩阵范数怎么计算

如题所述

矩阵范数怎么计算介绍如下:

计算矩阵的范数可以使用各种数值方法,例如幂迭代法、反幂迭代法、QR分解等等。在实际应用中,一般会根据问题的特点和数据的规模选择合适的计算方法。

将矩阵沿列方向取绝对值求和,然后取最大值作为1范数。

对于实矩阵,矩阵A的2范数定义为:A的转置与A乘积的最大特征值开平方根。对于以上矩阵,直接调用函数可以求得2范数为16.8481,对于复矩阵,将转置替换为共轭转置,其他步骤与上一步相同。矩阵A的∞范数定义为先沿着行方向取绝对值之和,然后取最大值,与1范数类似。

矩阵

矩阵指在数学中,按照长方阵列排列的复数或实数集合,最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵,由19世纪英国数学家凯利首先提出。它是高等代数学中的常见工具,其运算是数值分析领域的重要问题。

范数

范数,是具有长度概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域,是一个函数,其为向量空间内的所有向量赋予非零的正长度或大小。半范数反而可以为非零的向量赋予零长度。

判断矩阵病态与否的一种度量,条件数越大矩阵越病态

对应矩阵的3种范数,相应地可以定义3种条件数:函数condi(A)、cond(A)以及condoo(A)病态:对于线性方程组Ax=b,如果A的条件数大,b的微小改变就能引起解x较大的改变,数值稳定性差。

如果A的条件数小,b有微小的改变,x的改变也很微小,数值稳定性好,cond(A)=||A||*||A-1||定理:扰动误差,给矩阵A以扰动A;其中x是Ax=b的唯一解,是(A+6A)x=b的唯一解。

到了矩阵这里,变成了2维数组。

那我们可以由向量中范数的定义继续引申,然后添加一些只在矩阵中有意义的范数。对于从向量中引申出来的,称之为诱导范数,诱导即是引申的意思。列模和最大者称为1-范数,行模和最大者称为00-范数等。

同样的,这里的范数有度量矩阵大小的作用:如果有任意一个范数为0,则其他范数一定为0,且矩阵为0矩阵。某种程度上可以充当单个数中的绝对值。

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