矩阵初等变换后与原矩阵的关系取决于初等变换的类型。相关内容如下：
1、交换两行的初等变换不会改变矩阵的行列式值，因为行列式的值是由矩阵中的元素按照一定的运算法则计算得出的，而行列式的性质告诉我们，交换两行或者两列，行列式的值不变。因此，交换两行的初等变换不会改变矩阵的行列式值。
2、用一个非零常数乘以某一行的初等变换会改变矩阵的行列式值。这是因为行列式的性质告诉我们，如果用非零常数k乘以某一行或者某一列，那么行列式的值会变为原来的k倍。因此，用非零常数乘以某一行的初等变换会改变矩阵的行列式值。
3、将某一行乘以一个非零常数加到另一行上的初等变换会改变矩阵的行列式值。这是因为当我们把某一行乘以一个非零常数加到另一行时，相当于对这两行进行了加法运算，而加法运算会改变矩阵的行列式值。
矩阵乘法的计算方法如下：
1、表示线性变换：矩阵乘法是表示线性变换的一种方式。通过矩阵乘法，可以将一个矩阵与向量相乘，从而实现对向量的线性变换。这在计算机图形学、物理学和工程中非常有用。
2、多维数据处理：矩阵乘法用于处理多维数据，如图像处理、信号处理和人工智能中的神经网络。通过矩阵乘法，可以对数据进行变换、过滤和特征提取。
3、线性方程组求解：线性方程组的求解可以通过矩阵乘法来实现。通过将系数矩阵与未知变量向量相乘，可以将线性方程组转化为矩阵方程，然后通过矩阵运算来求解未知变量。
4、电影推荐系统：矩阵乘法可以应用于电影推荐系统中。通过将用户对电影的评分表示为矩阵，以及电影之间的相似性表示为另一个矩阵，可以通过矩阵乘法来预测用户对未评分电影的评分，并向用户推荐相关电影。
5、社交网络分析：社交网络中的关系可以用矩阵表示，例如，可以使用邻接矩阵来表示用户之间的连接关系。通过对这些矩阵进行乘法运算，可以进行社交网络分析，发现社区结构、预测用户行为等。
6、交通流量优化：在交通规划和管理中，可以使用矩阵乘法来计算不同道路之间的交通流量，以优化交通路线和减少拥堵。