如何用导数判断函数的单调性？

Question

如题所述

Answer 1

3.3说的是确定q（x）的斜率在哪是正的，哪是负的。所以可以求一阶导数，即斜率，正负区间就可以确定下来。
设函数的一阶导数为f'(x)，假设函数f(x) = (u(x)/v(x))，其中u(x)和v(x)均为可导函数，则根据求导法则，有： f'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x)) / (v(x))^2。
将f(x)的分子和分母分别进行求导，我们有： u'(x) = 1，v'(x) = 2。 将这些值带入求导法则，我们得到： f'(x) = ((2x + 5) - 2(x - 10)) / (2x + 5)^2。
化简这个表达式，我们得到： f'(x) = 25 / (2x + 5)^2。
现在我们需要找到f'(x)的正负区间。由于分子25大于0，并且(2x + 5)^2始终大于0（因为平方不会得到负数），所以f'(x)的符号由分母决定。
对于分母(2x + 5)^2，如果(2x + 5)^2 > 0，则f'(x) > 0；如果(2x + 5)^2 < 0，则f'(x) < 0。然而，由于平方不会得到负数，所以(2x + 5)^2始终大于0。
综上所述，f'(x)始终大于0，即函数f(x) = (x-10)/(2x+5)的斜率正负区间为正数区间，即斜率为正。