【高中数学】数列问题

Question

已知递推数列:a1=1,a(2i)=a(i),a(2i+1)=a(i)+a(i+1),求通项an.(i为正整数)

Answer 1

a(n+1)=3an+1
阳春面a(n+1)+k=3(an+k)
a(n+1)=3an+2k，所以k=1/2
令bn=an+1/2，b1=1
所以{bn}是以1为首项，3为公比的等比数列

bn=3^(n-1)
所以an=3^(n-1)-(1/2)

高中数学就是难弄我去回答小学了

Answer 2

首先假设，所有可能的p=3^k(即3的k次方),k=0,1,2……。
先证明p为这些值时一定成立，
因为p为奇数，所以只要令这连续的p项中的中间项
的值为{bn}中某一项
即为3^n，则这连续的3^k项的和为3^k*3^n=3^(k+n)依然是{bn}中某一项
得证。
若p不为这些值，即3^(k-1)<p<3^k,k=1,2,3……。
首先P不能为偶数，因为p为偶数，连续p项的和就是偶数，{bn}中每一项都是奇数，所以p一定得是奇数。
若p为奇数，设这p项的中间项的值为x，则连续p项的和为p*x,无论x为何值，p*x都不可能为是{bn}中某一项，因为p因式分解后含有不等于3
的值。
得证。
p只能为假设里面的数字，证明结束。

Answer 3

向左转|向右转
(1)
a(n+1)=3an
+1
a(n+1)+½=3an+3/2=3(an+½)
[a(n+1)+½]/(an+½)=3，为定值
a1+½=1+½=3/2
数列{an+½}是以3/2为首项，3为公比的等比数列
an+½=(3/2)·3ⁿ⁻¹=½·3ⁿ
an=(3ⁿ-1)/2
n=1时，a1=(3-1)/2=1，同样满足表达式
数列{an}的通项公式为an=(3ⁿ-1)/2
(2)
n≥1，3ⁿ≥3，(3ⁿ-1)/2≥1>0，数列{an}各项均为正
1/a1=1/1=1
[1/a(n+1)]/(1/an)
=an/a(n+1)
=[(3ⁿ-1)/2]/[(3ⁿ⁺¹-1)/2]
=(3ⁿ-1)/(3ⁿ⁺¹-1)
=⅓(3ⁿ⁺¹-3)/(3ⁿ⁺¹-1)
=⅓(3ⁿ⁺¹-1-2)/(3ⁿ⁺¹-1)
=⅓[1-
2/(3ⁿ⁺¹-1)]
2/(3ⁿ⁺¹-1)>0，1-
2/(3ⁿ⁺¹-1)<1，⅓[1-
2/(3ⁿ⁺¹-1)]<⅓
1/a1+1/a2+...+1/an
<1+1·⅓+...+1·⅓ⁿ⁻¹
=1·(1-⅓ⁿ)/(1-⅓)
=(3/2)(1-⅓ⁿ)
=3/2
-(3/2)·⅓ⁿ
(3/2)·⅓ⁿ>0，3/2
-(3/2)·⅓ⁿ<3/2
1/a1+1/a2+...+1/an<3/2
思路：第二问要用到放缩法。

Answer 4

等差数列a(n-1)+a(n+1)=2*an
a+5a=2b
b=3a
5a*2=b+7=3a+7,a=1
an=2n-1,
1,3,5,7...
(1+2*n-1)*n/2=6250000
n=2500
c=2*2500-1=4999

Answer 5

1.
（1）
设an=a1+(n-1)d,又a2=1,a5=-5.
所以
1=a1+d
-5=a1+4d
解得：
a1=3
d=-2
故an=3-2(n-1)=5-2n
（2）
Sn=n*a1+d*n*(n-1)/2=3n-n*(n-1)=4n-n^2=-(n-2)+4≤4
所以sn的最大值是4
2.
（1）
S1,S3,S2成等差数列.
即：
2S3=S1+S2
2*a1*q^2=a1+a1*q
2q^2=1+q
解得：q=-1/2或1
舍去1
q=-1/2
（2）
a1-a3=a1(1-q^2)=a1(1-1/4)=3
解得：a1=4
所以an=4*(-1/2)^(n-1)
Sn=4*(1-(-1/2)^n)/(1-(-1/2))=8/3*(1-(-1/2)^n)