三角形的三等分点

Question

把三角形ABC的边AB三等分，AC四等分，已知三角形ADE的面积为1平方厘米，求三角形ABC的面积是多少？

Answer 1

　　三角形中线的交点到底边中点的距离是中线的三分之一,
　　方法

　　以该线段为中线做一任意三角形,画出三角形的另一条中线,那么两中线交于点A,以该点为圆心,该线段到三角形底边的距离为半径做圆,交于该线段于点B,则点A,B就是该线段的三等分点.
　　尺规做三等分点

　　方法一：
　　现已知线段AB，要求作出AB的三等分点F,E。
　　步骤：做以AB为中线的三角形（方法如下：任意延长AB至点C，以B为圆心，截取HB=BC。分别以H，C为圆心，HC为半径画弧，交HC垂直平分线于G，G1。连接AGG1，为三角形。）
　　做AG1垂直平分线，交AB于E，则EB=1/3AB。
　　E为圆心，BE半径，画圆与AB交于F。
　　E，F即是线段AB的三等分点。
　　方法二：
　　已知AB线段，做AB为底的等边三角形，做AB的垂直平分线，设上面一点是C，再做BC的垂直平分线，两平分线相交D吧，设AB中点为E，那么DE是EC的三分之一，延长CE，然后取EF等于ED，可以看出三角形ADF是等边三角形，做AD的垂直平分线，交AE于一点，设为G，AG就是AB的三分之一，如上做另一边的三分之一，即可。
　　方法三：
　　把已知线段的一个端点作为顶点,任意作延长线,在延长线上从顶点开始任意截取相等的连续的三段,形成另一条线段,然后把已知线与你作的线段的另一个端点相连,形成三角形,过三等分点做底边的平行线,交已知线段上的点就是所要的三等分点.
　　方法四：
　　已知线段AB，将AB线段四等分，分别为A,C,D,E,B。以ACD为直径画圆，再以CDEB为直径画圆，两圆交点为点F，过F点作AB的垂线交AB于点F，点F即为线段AB的三等分点。

Answer 2

oe//ab
of//ac
易得三角形oef是个等边三角形
oe=of=ef
有oe=be
of=cf(垂直平分线的性质)
所以be=ef=cf
e、f为三等分点

Answer 3

S=12cm^2
三角形ADE的面积为1平方厘米
连接B与AC的第三分点，设为F，则三角形ABF与三角形ADE相似
相似比=3
所以三角形ABF的面积=9cm^2
设其高为h,底边长AF。即AF*h/2=9
AF=3AE,则AE*h/2=3
三角形ABC的中，AC的高=h
AC=4AE
所以，三角形ABC的面积=AC*h/2=4AE*h/2=43=12cm^2