微积分求极限

Question

微积分求极限第17题第二小问 第二张图是答案 没看懂答案上那几步 求大神讲解

Answer 1

第一步：属于0/0型，所以使用罗比塔法则，分子分母上下各自求导

第二步：分子求导，求导与积分为逆运算，所以，只需要将被积函数的变量换为 x，

第三步：等价无穷小替换，x→0, sinx~x。所以sin2x~2x，带入即可

追问

你好

那个第二步

你说只需要将被积函数的变量换为 x

那不应该是sin²2x嘛

追答

第一个等号为第一步，第二个等号为第二步

追问

答案为什么是2sin²2x

我知道我知道

就是这个不太懂

为啥是2sin²2x

追答

对于分子，原式=
[∫（0,2x) (sint)^2dt]' =[sin(2x)]^2*(2x)'
=2[sin(2x)]^2
需要对积分变上限变量求导，当积分区间为复合函数时，例如本题，需要对2x求导
也就是如下公式：
[∫(u(x) ,v(x)) f(t)dt]' = u'(x)f(u(x))-v'(x)*f(v(x))

追问

谢谢