第1个回答 2020-02-22
轮换式：如果一个多项式中的变数字母按照任何次序轮换后，原多项式不变，那么称该多项式是轮换多项式(简称轮换式)．
在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多项式叫做对称多项式.
(1)
对于曲面积分，积分曲面为u(x,y,z)=0，如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,z,x后，u(y,z,x)仍等于0，即u(y,z,x)=0，
也就是积分曲面的方程没有变，那么在这个曲面上的积分
∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(y,z,x)dS；如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,x,z后，u(y,x,z)=0，那么在这个曲面上的积分
∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(y,x,z)dS；如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成z,x,y后，u(z,x,y)=0，那么在这个曲面上的积分
∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(z,x,y)dS
，同样可以进行多种其它的变换。
(2)
对于第二类曲面积分只是将dxdy也同时变换即可。比如：如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,z,x后，u(y,z,x)=0，那么在这个曲面上的积
分
∫∫f(x,y,z)dxdy=∫∫f(y,z,x)dydz,∫∫f(x,y,z)dydz=∫∫f(y,z,x)dzdx,
∫∫f(x,y,z)dzdx=∫∫f(y,z,x)dxdy.
(3)
将1中积分曲面中的z去掉，就变成了曲线积分满足的轮换对称性：积分曲线为u(x,y)=0，如果将函数u(x,y)=0中的x,y换成y,x后，仍满足u(y,x)=
0，那么在这个曲线上的积分
∫∫f(x,y)ds=∫∫f(y,x)ds；实际上如果将函数u(x,y)=0中的x,y换成y,x后，仍满足u(y,x)=0，则意味着积分曲线关于直线y=x对称
。第二类和（2）总结相同。
(4)
二重积分和三重积分都和(1)的解释类似，也是看积分域函数将x,y,z更换顺序后，相当于将坐标轴重新命名，积分取间没有发生变化，则被积函数作相应变换后，积分值不变。
轮换式完整的叫法是轮换对称式。因为几何上对称除了轴对称之外，还有中心对称、旋转对称等，相应地，在代数里对称也有较多的对称。这与我们日常语言中的概念是有区别的。
下面指出轮换式和对称式的区别：对称式交换任意两个变量的值，结果不变，如x+y+z；
轮换对称式一定要轮换，例如x->y,y->z,z->x才能使结果不变，如(x-y)/z+(y-z)/x+(z-x)/y，光换两个不行。
第二个问题是分解因式的应用，现举实例如下：
①(a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5
②8(a+b+c)^3-(b+c)^3-(c+a)^3-(a+b)^3
③x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)-(x^3+y^3+z^3)-2xyz
(1)
分析:
将原式看成X的多项式,可知
当X=－Y时,
原式=(－Y＋Y＋Z)^5－(－Y)^5－Y^5－Z^5
=0
所以原式有因式(X＋Y),因为是对称式，所以原式还有因式(Y＋Z),(Z＋X)
设原式=(X＋Y)(Y＋Z)(Z＋X)[K(X^2＋Y^2＋Z^2)＋T(XY＋YZ＋ZX)]
令X=1,Y=1,Z=0,代入得
30=2(2K＋T);
令X=1,Y=－1,Z=0,代入得－30=－2(5K－2T)
解得K=5,T=5
所以原式=5(X＋Y)(Y＋Z)(Z＋X)(X^2＋Y^2＋Z^2＋XY＋YZ＋ZX)
(2)
分析
设原式=[(2A＋2B＋2C)^3－(B＋C)^3]－[(C＋A)^3＋(A＋B)^3]
然后利用立方差和立方和公式展开,并令整理后的式子
=(2A＋B＋C)(M－N)
其中由轮换多项式可确定(M－N)中含有(A＋2B＋C),(A＋B＋2C)
比较系数的原式=3(2A＋B＋C)
(A＋2B＋C)(A＋B＋2C)
(3)分析
设X=Y＋Z,则有
原式=(X＋Y)^3＋Y^2(2Z＋Y)＋Z^2(2Y＋Z)－[(Y＋Z)^3＋Y^3＋Z^3]－2(Y＋Z)YZ
=(Y＋Z)^3＋2Y^2Z＋Y^3＋2YZ^2＋Z^3－(Y＋Z)^3－Y^3－Z^3－2Y^2Z－2YZ^2=0
所以原式有因式(Y＋Z－X),因为对称式，故也有因式(Z＋X－Y),(X＋Y－Z)
设原式=K(Y＋Z－X)(X＋Y－Z)(Z＋X－Y)
其中K为待定系数,比较等式两边XYZ项的系数
右=K(1－1＋1－1－1－1)=－2K
，左=－2
所以解得K=1
所以原式=(Y＋Z－X)(X＋Y－Z)(Z＋X－Y)
对称与轮换对称很重要，以后一直到大学都很有用。