圆锥曲线是高中数学中比较重要的一章，也是高考数学中的重点内容。其中，椭圆、双曲线、抛物线是最基础的三种圆锥曲线。本文将以一道高考题为例，详细讲解圆锥曲线的相关知识点。
题目
已知点$A(-3,0)$，$B(3,0)$，$C(0,5)$，点$P$在$\triangleABC$内部，且$\angleAPB=\angleBPC=\angleCPA$，则$\triangleABC$的面积为（）。
A.$10\sqrt{3}$_.$15\sqrt{3}$C.$20\sqrt{3}$D.$25\sqrt{3}$
解析
根据题意，$\triangleAPB$、$\triangleBPC$、$\triangleCPA$是等边三角形。我们设$\angleAPB=\angleBPC=\angleCPA=\theta$，则$AP=PB=PC=a$。
由于$\angleAPB=\theta$，所以$AP^2+PB^2-2AP\cdotPB\cdot\cos\theta=AB^2$，即$a^2+a^2-2a^2\cos\theta=36$，解得$\cos\theta=\frac{1}{2}$，即$\theta=\frac{\pi}{3}$。
同理可得，$\cos\theta=\frac{1}{2}$，即$\theta=\frac{\pi}{3}$。
由于$\triangleABC$的三边长已知，可以用海伦公式求出其面积$S$：
$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$
其中，$p$为半周长，$p=\frac{a+b+c}{2}$。
将$a=AP$代入，得$p=3a$，$a+b+c=2p=6a$，$b+c=2a$。
又因为$\triangleAPB$、$\triangleBPC$、$\triangleCPA$都是等边三角形，所以$b=a$，$c=a$。
代入海伦公式，得：
$$S=\sqrt{3a^2(a^2-4a^2)}=2a^2\sqrt{3}$$
代入$a=AP$，得$S=2\times3^2\times\sqrt{3}=18\sqrt{3}$。
因此，选项B为正确答案。