首先 关于home
n. 家，住宅；家乡；产地；避难所 adv. 在家，回家；深入地
adj. 国内的，家庭的；有效的 vt. 归巢，回家
副词相当于 介词+名词
当home作副词时，前面不用加介词了，例如come home、go home的词组，home前没有介词to，跟there、here的用法一下；
而at home中，home是抽象名词，不是指具体住的房子，而是抽象的家的概念，所以没有the。
算是固定用法吧，记住就好
at the school和at school都没错，但是意义不同，
students study at school and teachers work at the school
school、prison、hospital一样比较特殊的词，当他们与介词搭配，不加the时，分别表示在学校学习、坐牢、住院；当有the时，表示在学校、监狱、医院的场所而已，可能是工作人员什么的
http://zhidao.baidu.com/question/158825298.html，这是我以前答的一题，可以参看一下
至于factory，这个跟前面的介词没有关系，主要是factory这个词是可数名词
在英语中可数名词一定以某种形式出现，
单数、复数、前面有词修饰（定冠词the、物主代词his或者John‘s等，指示代词this those等）
使用不同形式时，语法均没有错误，只是意义不同，泛指跟特指的区别而已
由此，上面的at factory不对，
at the factory是指在那家工厂，指说话双方均明白、或上文已经提过的
at a factory指在一家工厂，泛指
例句 he works at the factory I mentioned.他在我提到的那家工厂工作
he works at a factory nearby. 他在附近的一家工厂工作