什么是卡方分布？

Question

如题所述

Answer 1

因为S²=1/(n-1)∑(Xi-X拔)²，而且(n-1)S²/σ²～χ²(n-1)，又因为σ=1，∑(Xi-X拔)²～χ²(n-1)，根据卡方分布的定义可知：∑(Xi-μ)2/σ2服从正态分布 N(μ,σ2/n)，则 (X*-μ)/ (σ/n1/2) 服从正态分布 N(0,1) ∑(Xi-μ)2/σ2 。

若n个相互独立的随机变量ξ₁，ξ₂，...,ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布。

扩展资料

卡方分布性质：

1、分布在第一象限内，卡方值都是正值，呈正偏态（右偏态），随着参数的增大，分布趋近于正态分布；卡方分布密度曲线下的面积都是1.

2、分布的均值与方差可以看出，随着自由度的增大，χ2分布向正无穷方向延伸（因为均值越来越大），分布曲线也越来越低阔（因为方差越来越大）。

3、不同的自由度决定不同的卡方分布，自由度越小，分布越偏斜。

4、若互相独立，则：服从分布，自由度为；

5、分布的均数为自由度，记为 E() =。

6、分布的方差为2倍的自由度()，记为 D() =。

参考资料：百度百科—卡方分布

Answer 2

卡方分布（Chi-Square Distribution）是一种在统计学和概率论中常用的概率分布。它是一个连续概率分布，通常用于假设检验和置信区间的构建。卡方分布有一个参数，即自由度（degrees of freedom，通常记为df），自由度是与卡方统计量相关的独立正态随机变量的数量。
卡方分布的定义是基于标准正态分布的平方和。假设 \(Z_1, Z_2, ..., Z_n\) 是n个相互独立的标准正态随机变量（均值为0，方差为1），则它们的平方和
\[X^2 = Z_1^2 + Z_2^2 + ... + Z_n^2\]
遵循自由度为 \(n\) 的卡方分布，记为 \(X^2 \sim \chi^2(n)\)。
举例说明：
1. 假设检验（卡方独立性检验）：
假设你想检验一个数据集中两个分类变量的独立性。例如，你有一个数据集包含了300个人的性别和是否吸烟的信息。你可以创建一个列联表，如下：
| | 吸烟 | 不吸烟 | 总计 |
|-------|------|--------|-----|
| 男 | 50 | 100 | 150 |
| 女 | 30 | 120 | 150 |
| 总计 | 80 | 220 | 300 |
你可以使用卡方测试来检验性别和吸烟是否独立。计算观测频数和期望频数之间的卡方统计量，然后使用卡方分布来确定该统计量的p值。如果p值很低（例如，小于0.05），则你可以拒绝两个变量是独立的假设，认为它们之间存在某种关系。
2. 置信区间构建：
卡方分布也可用于构建方差的置信区间。例如，如果你知道一个正态分布样本的样本方差，你可以使用卡方分布来构建该总体方差的置信区间。
这些例子展示了卡方分布在统计分析中的应用，包括假设检验和置信区间的构建。