可逆矩阵一定是初等矩阵吗

Question

如题所述

Answer 1

可逆矩阵不一定是初等矩阵。首先，初等矩阵是指仅有一行或一列不为0，其余元素均为0，并且该行或列上的元素为1的矩阵。初等矩阵有三种类型：交换矩阵（交换两行或两列）、缩放矩阵（某一行或列乘以一个非零常数）、倍加矩阵（某一行或列加上另一行或列的常数倍）。其次，可逆矩阵是指存在一个矩阵B，使得该矩阵A与B的乘积为单位矩阵I，即AB=BA=I。一个矩阵是否可逆，可以通过行列式是否为0来判断。然后，可以构造一个2*2的矩阵A来说明可逆矩阵不一定是初等矩阵。很容易验证，该矩阵的行列式为-3，不为0，因此该矩阵是可逆矩阵。但是，可以证明该矩阵不是初等矩阵。因为根据初等矩阵的定义，初等矩阵的行列式必须为1或-1，而矩阵A的行列式为-3，不满足初等矩阵的定义，因此矩阵A不是初等矩阵。