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设A为m*n矩阵,B为n*s矩阵,若AB=O,则r(A)+r(B)≤n
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第1个回答 2022-08-04
最简单的证明方法是运用齐次方程组的解空间的知识:
记 B=(b1,b2,……,bs) ,由 AB=0 ,知 b1,b2,……,bs 是 Ax=0 的解
记 r(B)=r ,说明 b1,b2,……,bs 中有 r 个向量线性无关
即 Ax=0 的解空间S中至少有 r 个向量,即 dimS≥r
由解空间维度的关系:dimS=n-r(A)≥r
即 n ≥ r(A)+r = r(A)+r(B)
相似回答
设A为m*n矩阵,B为n*s矩阵,若AB=O,则r(A)+r(B)≤n
怎么解?
答:
简单计算一下,答案如图所示
设A为m*n矩阵,B为n*s矩阵,若AB=O,则r(A)+r(B)≤n
答:
记 r(B)=r ,说明 b1,b2,……
,bs
中有 r 个向量线性无关 即 Ax=0 的解空间S中至少有 r 个向量,即 dimS≥r 由解空间维度的关系:dim
S=n
-r(A)≥r 即 n ≥ r(A)+r =
r(A)+r(B)
设A为m*n矩阵,B为n*s矩阵,若AB=O,
求证:
r(A)+r(B)≤n
答:
因为
AB=
0,所以B的每一列向量都是AX=0的解(1)若秩(A)=n(即列满秩),则AX=0只有零解,所以秩(B)=0,满足条件;(2)若秩(A)<n,不妨设秩(A)=r,则AX=0的基础解系含有n-r个向量,从而秩(B)≤n-r(原因就是B的每一列向量都是AX=0的解),所以
r(A)+r(B)≤n
...
设A为M
×
N矩阵,B为N
×
S矩阵,若AB=O,则r(A)+r(B)
≦N
答:
于是 Aβj = 0 (j=1,2,...,s),即 B的列向量均是齐次线性方程组Ax=0的解。由于方程组Ax=0解向量的秩为 n-r(A),所以 r(B)= r (β1,β2,...,βs)≤ n-r(A)从而有
r(A)+r(B)≤ n
【评注】关于
AB=
0,应当有两个重要的思路:、1、B的列向量是方程组...
设A为m*n矩阵,B为n*s矩阵,若AB=O,
求证:
r(A)+r(B)≤n
答:
因为
AB=O
所以 B 的列向量都是AX=0 的解 所以B的列向量组可由AX=0的基础解系线性表示 所以 r(B) <= n-r(A)所以
r(A)+r(B)
<= n.
设A,B
分别
为m*n
,
n*s矩阵,
且
AB=
0,证明
r(A)+r(B)≤n
答:
因为
AB=
0,所以B中的列向量都是齐次线性方程组AX=0的解空间的解向量,从而能推出B中的列向量只是AX=0解空间的一部分,所以R(B)<=n-R(A),即
r(A)+r(B)≤n
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设a为m×n矩阵,B为n*m矩阵
设A为n阶矩阵B为m阶矩阵
设n阶矩阵A与s阶矩阵B都可逆
若A和B为n阶矩阵且A和B相似
A是m阶矩阵B是n阶矩阵
AB分别为mn和nm矩阵
n阶矩阵A与n阶矩阵B等级
AB为n阶矩阵
设n阶矩阵A与B等价