设数列an满足|an+1l≤q|an| n≥N 0<q<1为常数 用夹逼定理证明lim|an|=0 从而liman=

Question

设数列an满足|an+1l≤q|an| n≥N 0<q<1为常数 用夹逼定理证明lim|an|=0 从而liman=0

Answer 1

设数列 An，Bn，Cn
An = {an} 是题目中的数列
Bn = {0} 中每一项都是 0
Cn = { |a1|*q^(n-1) } 中后一项等于前一项乘q： c(n+1) = |a1|*q^n = q*(|a1|*q^(n-1)) = q*cn

因为 |an| ≥ 0 = bn
所以 |an| ≥ bn

因为 |a(n+1)l ≤ q|an|
所以 |a(n+1)l ≤ |a1|*(q^n)
但是 c(n+1) = q*cn = |a1|*(q^n)

因此 |a(n+1)| ≤ c(n+1)
也就是 |an| ≤ cn

所以，对所有正整数 n，都有：
bn ≤ |an| ≤ cn

而且 lim(bn) = lim(0) = 0
lim(cn) = lim( |a1|*(q^n) ) = |a1|*lim(q^n) = |a1|*0 = 0

因此 lim|an|=0
所以数列 An 绝对收敛，也就证明 An 普通收敛，即：
lim(an) = 0