已知一次函数的图像过(1,4)且和两坐标轴的截距均为正,若使其截距之和最小,求符合要求的一次函数解析式

Question

要详细过程

Answer 1

解：设该一次函数解析式为y=kx+b,
∵函数图象过点（1，4），
∴k+b=4,即b=4-k
令x=0,得y=b,
令y=0,得x=-b/k,
∵函数与两坐标轴的截距均为正，
∴b>0,k<0
依题意，截距之和b+(-b/k)=4-k+(k-4)/k=5-k-4/k≥5+2√[(-k)(-4/k)]=9
当且仅当-k=-4/k时等号成立，即k²=4,∴k=-2
∴b=6
所以，满足要求的一次函数解析式为y=-2x+6

Answer 2

设所求直线方程为x/a+y/b=1 (a,b>0)
1/a+4/b=1
a+b
=(a+b)(1/a+4/b)
=1+4a/b+b/a+4
>=2√(4a/b)(b/a)+5
=9
当且仅当4a/b=b/a取到等号
解得a=3 ,b=6
所以解析式为x/3+y/6=1
即2x+y-6=0