当事人应了解相关流程，主动联系交警部门，并在必要时申请行政复议或提起诉讼。
一、了解交通责任认定流程
在交通事故发生后，交警会进行现场勘查、调查取证，并根据收集到的证据，对事故责任进行初步判断。随后，交警会出具交通责任认定书，明确各方责任。然而，由于各种原因，认定书的出具可能会出现延迟。
二、主动联系交警部门
当发现交通责任认定书迟迟未出时，当事人可以主动联系交警部门，了解认定书的进展情况。可以通过电话、邮件或现场咨询等方式，向交警部门表达关切，并询问是否需要补充相关证据或材料。
三、申请行政复议或提起诉讼
如果交警部门在合理期限内仍未出具交通责任认定书，当事人可以考虑申请行政复议或提起诉讼。行政复议是对行政机关的具体行政行为进行审查的一种方式，而诉讼则是通过法律途径维护自身权益的手段。在申请行政复议或提起诉讼前，当事人应收集好相关证据，确保自己的主张得到充分支持。
四、耐心等待并寻求专业建议
在等待交通责任认定书出具的过程中，当事人应保持耐心，并寻求专业律师的建议。律师可以根据具体情况，为当事人提供合理的法律建议，并帮助当事人制定合适的维权策略。
综上所述：
当交通责任认定书迟迟不下时，当事人应了解相关流程，主动联系交警部门，并在必要时申请行政复议或提起诉讼。同时，保持耐心并寻求专业建议也是解决此问题的有效途径。
法律依据：
《中华人民共和国道路交通安全法》
第七十三条规定：
公安机关交通管理部门应当根据交通事故现场勘验、检查、调查情况和有关的检验、鉴定结论，及时制作交通事故认定书，作为处理交通事故的证据。交通事故认定书应当载明交通事故的基本事实、成因和当事人的责任，并送达当事人。
《中华人民共和国行政复议法》
第六条规定：
有下列情形之一的，公民、法人或者其他组织可以依照本法申请行政复议：……（九）申请行政机关履行保护人身权利、财产权利、受教育权利的法定职责，行政机关没有依法履行的；……
《中华人民共和国民事诉讼法》
第一百二十三条规定：
起诉应当向人民法院递交起诉状，并按照被告人数提出副本。书写起诉状确有困难的，可以口头起诉，由人民法院记入笔录，并告知对方当事人。
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