高中数学题求解

Question

一、求证函数f(x)=x+根号下1+2X在定义域内为单调递增函数
二、已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>-2x的解集为（1，3）。
（1）若方程f(x)+6a=0有两个相等的实根，求f(x)的解析式。
（2）若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围。
要求有过程，答案好的加分，速度

Answer 1

1，证明：。在定义域内任取x1>x2;
f(x1)-f(x2)=x1-x2+2（x1-x2)/（根号下1+2X1+根号下1+2X2）；
因为x1>x2;f(x1)-f(x2)>0;则f(x1)>f(x2);
所以f(x)在定义域内为单调递增的；
2，设f(x)=ax^2+bx+c;不等式f(x)>-2x的解集为（1，3）；ax^2+（b+2）x+c=0
所以：1+3=-（b+2)/a;
1*3=c/a; a<0;
ax^2+bx+c+6a=0;有两个相等的实根;则 b^2-4a(c+6a)=0;
则a=-1/5；c=-3/5.，b=-6/5；
f（x）=-x^2+2x-3;
(2),(4ac-b^2)/4a>0;x<2-根号5；

Answer 2

1、f(x)=x 和 f(x)=√（1+2x)在定义域都是单增函数，增函数相加仍为增函数。所以要证的函数为增函数
2、设f(x)=ax²+bx+c 不等式化解为ax²+（b+2)x+c>0,解集为（1,3）则a<0
且-(b+2)/a=4,c/a=3(两根之和，两根之集)化简得b=-4a-2,c=3a
(1)f(x)+6a=0有两个相等的跟，集ax²+bx+c+6a=0判别式=0，即b²-4a(c+6a)=0.
将b,c用a表示带入上式得（-4a-2)²-4a*9a=0,解得a=-1/5或a=1（舍）
则b=-14/5,c=-3/5
f(x)=-1/5x²-14/5x-3/5
(2)f(x)的最大值在-b/2a出取得，为c-b²/4a>0,b,c换成a得a²+4a+1>0(a《0)
a的取值范围为（-∞，-2-√3）∨（-2+√3,0）