1/(1+cos(x))的不定积分，求助各位大神，在线考试

Question

如题所述

Answer 1

显然d(1/x)= -1/x² dx
所以得到
原积分
=∫ (1/x²) *cos(1/x) dx
=∫ -cos(1/x) d(1/x)
= -sin(1/x) +C,C为常数

Answer 2

∫[1/(1+cosx)]dx
=∫sec²(x/2)d(x/2)
=tan(x/2)+C追问

没看懂，可以具体点么

追答

用了3个公式:
①半角公式:cosx=2cos²(x/2)-1
即1+cosx=2cos²(x/2);
②sec²(x/2)=1/cos²(ⅹ/2);
③积分公式:∫sec²(x/2)d(x/2)=tan(x/2)+C。

追问

不好意思，还有一道题

然后遇到了瓶颈
😁😁😁

追答

∫[1/(1+cos²x)]dx
=∫[(sin²x+cos²x)/(sⅰn²x+cos²x+cos²x)]dx
=∫[(sin²x+cos²x)/(sin²x+2cos²x)]dx
=∫[(1+tan²x)/(2+tan²x)]dx
=∫[sec²x/(2+tan²ⅹ)]dx
=2√2∫[1/(1+(tanx/√2)²]d(tanx/√2)
=arctan[tan(x/√2)]+C。

不好意思，刚才上面最后一步漏了系数“2√2”

最后图片解答才正确。

Answer 3

考试？追问

不算是考试，是测试，我算了好久 ，诶……可以帮帮我么

追答

有没有考完，还有题吗

追问

考完了，我想知道答案，可以写下过程么

非诚勿扰