定义:如果一条直线把一个面图形的面积分成相等的两部分,我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线.如图1,AD是△ABC的中线,则有S△ADC=S△ABD,所以直线AD就是△ABC的一条面积等分线.探究:(1)如图2,梯形ABCD中,AB∥DC,连接AC,过B点作BE∥AC交DC的延长线于点E,连接AE,那么有S△AED=S梯形ABCD,请你给出这个结论成立的理由;(2)在图2中,过点A用尺规作出梯形ABCD的面积等分线(不写作法,保留作图痕迹);类比:(3)如图3,四边形ABCD中,AB与CD不平行,过点A能否画出四边形ABCD的面积等分线?若能,请画出面积等分线,并给出证明;若不能,说明理由.
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解答:
(1)∵AB∥CE,AB=CE,
∴四边形ABEC为平行四边形,
∴BE∥AC,
∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等,
∴有S△ABC=S△AEC,
∴S梯形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED;
(2)过点A的梯形ABCD的面积等分线的画法如图所示:
作DE的垂直平分线,交DE于G,连接AG.
则AG是梯形ABCD的面积等分线;
(3)过点A能画出四边形ABCD面积等分线,
连接AC,过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E,
作△AED的中线AF,则△AED的中线AF所在的直线即为四边形ABCD的面积等分线.
∵BE∥AC,
∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等,
∴有S△ABC=S△AEC,
∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED.
∵AF是△AED的中线,
∴S△AEF=S△AFD= 12S△AED= 12S四边形ABCD,
∴△AED的中线AF所在直线即为四边形ABCD的面积等分线,