九章算法揭秘：Google面试中，如何快速找到动态数组的中位数
作者：JZ | 九章算法独家分享
在数据结构的世界里，中位数这一概念看似简单，但在动态环境下却隐藏着深奥的算法策略。今天，我们将一起探讨如何设计一个数据结构，轻松应对Google面试中的挑战，实现高效查找动态数组的中位数。
问题背景：给定一个可变数组，需要支持两种操作：addNum，向数组中插入一个新元素；findMedian，返回当前数组的中位数。对于偶数个元素，中位数是中间两个数的平均值，对于奇数个元素，中位数则是中间的那个数。
思路与分析
面对动态插入和查询，我们需要找到一个平衡且高效的解决方案。静态时，我们可能会想到排序，但这在动态情况下会消耗大量时间。因此，我们需要寻找一个数据结构，它的操作时间复杂度应为O(log n)或更低。
堆和平衡二叉树是两个可能的选择，但堆由于其操作简单且在面试场景中常见，我们优先考虑。堆（如大根堆和小根堆）恰好满足中位数的特性：新元素加入后，我们需要维护两个堆，一个保证元素小于或等于中位数，另一个保证元素大于中位数。这样，中位数就是大根堆的堆顶（奇数元素）或两个堆顶的平均值（偶数元素）。
数据结构与算法设计
设计的核心是维护两个堆：P（大根堆，存储元素不大于中位数的值）和Q（小根堆，存储元素不小于中位数的值）。当addNum操作时，新元素先加入P，然后根据堆的大小关系调整堆结构，确保性质1（A中元素均小于等于B中元素）和性质2（A中的元素和B中的元素一样多或只多一个）始终成立。在findMedian查询时，中位数就是P的堆顶或者P和Q的堆顶值的平均值。
这种策略允许我们在O(log n)的时间复杂度内完成插入和查询，大大提升了效率。面试官会关注你对堆的理解和运用，以及如何根据问题特性选择合适的数据结构。
实战演练与学习资源
如果你想进一步练习，可以尝试LintCode上的相关题目，如"Sliding window median"和"Median"，它们将帮助你巩固对这个算法的理解和应用。
总的来说，解决这个问题的关键在于深入理解数据结构的特性，结合实际问题灵活运用，才能在Google面试中脱颖而出。希望这个解题思路能为你的面试准备提供一些启示。