如何计算联合概率分布函数？

Question

如题所述

Answer 1

假设X,Y是两个随机变量，F(X,Y)是它们的联合分布函数，f(x,y)是它们的联合概率密度函数。同时设边缘概率密度函数分别为P(x)，P(x)。

现在已知f(x,y)如何去求F(X,Y)?

首先，我们要弄清楚F(X,Y)的含义。F(X,Y)=P(x<=X,y<=Y)，即，它表示的是一个点 (x,y)落在区域 {x<=X,y<=Y} 内的概率，那么写成积分的形式就是:

F(X,Y)=∫[-infinity<x<=X]∫[-infinity<y<=Y]f(x,y)dxdy;

注意这里面的积分上限分别是x,y，积分下限都是“-无穷”，而在具体的问题中，积分上下限可能会有改变，比方说，如果我们知道在x<=0,y<=0时有f(x,y)=0，那么我们的积分下限就不用取到 "-无穷"，即：

F(X,Y)=∫[0<x<=X]∫[0<y<=Y]f(x,y)dxdy；

实际上这就是个普通的二重积分，积分区域是 {x<=X,y<=Y}, 被积函数是 f(x,y)。再比如： f(x,y)只在单位圆 x^2+y^2=1内部有定义，那么F(X,Y)的积分区域就是 {x<=X,y<=Y}与 单位圆 x^2+y^2=1的交。具体问题具体对待。没有通用的公式。

现在已知 f(x,y)如何去求边缘密度P(x),P(y)?
以P(x) 【对P(y)的讨论类似】为例这里面有如下公式：

P(x)=∫[-infinity<y<infinity]f(x,y)dy，

这里面我们把积分上下限统取为 "正负无穷"，实际上这里面的 y的取值范围也是由被积函数 f(x,y)的取值范围决定的。比方说，如果 f(x,y)只在单位圆 x^2+y^2=1 上有值，在其他地方的值为0，那么我们可以反解出 y，即： -sqrt(1-x^2)<y<sqrt(1-x^2)，从而得出

P(x)=∫[-sqrt(1-x^2)<y<sqrt(1-x^2)]f(x,y)dy；

实际上，这里面我们计算的是二重积分的的一重累次积分，而累次积分的积分上下限是由这个二重积分的积分区域来决定的。