已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于(

Question

已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（　　

Answer 1

【解法1】：

设AB=1，则AA1=2，分别以向量D1A1,向量D1C1,向量D1D的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：

则D(0，0，2)，C1(0，1，0)，B(1，1，2)，C(0，1，2)，

向量DB=(1，1，0)，向量DC1=(0，1，-2)，向量DC=(0，1，0)，

设向量n=(x，y，z)为平面BDC1的一个法向量，则

向量n·向量DB=0    

向量n·向量DC1=0    

即

x+y=0    

y-2z=0    

取向量n=(-2，2，1)，

设CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=|向量·向量DC|/|向量n||向量DC|=2/3，

故答案为：2/3.

【解法2】：

如图，设AA1=2AB=2，AC交BD于点O，连结OC1，过C作CM⊥OC1于点H，连结DM. 

 

∵BD⊥AC，BD⊥AA1， 

∴BD⊥平面ACC1A1. 

∵CM属于平面ACC1A1， 

∴CM⊥BD．

∴CM⊥平面C1BD． 

∴∠CDM为CD与平面BDC1所成的角． 

OC1=√(CC1²+OC²)=3/√2.

.由等面积法得OC1·CM=OC·CC1， 

∴CM=2/3.

∴sin∠CDH=CM/CD=2/3.

故答案为：2/3.

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Answer 2

线段 CD 的一端 D 在平面 BDC1 上，由三棱锥 C-C1BD 的体积反求出 C 到平面 C1BD 的距离 d，即可求得直线与平面夹角 α 的正弦；
V-CC1BD=(S-△BCD)*CC1=(S-△BDC1)*d；
S-△BCD=(AB)²/2，CC1=AA1=2AB，
S-△BDC1=(1/2)*BD*√[(CC1)²+(AC/2)²]=(√2/2)*AB*√[4(AB)²+(AB)²/2]=(3/2)(AB)²；
（也可由三边长 BD=√2*AB、C1B=C1D=√5*AB 来求△BDC1 的面积）
∴ d＝(S-△BCD)*CC1 /(S-△BDC1)＝(1/2)*2*(AB)/(3/2)＝2*(AB)/3；
∵ CD=AB，∴ sinα=d/(CD)=d/(AB)=2/3；