求连续区间，按照函数连续性的定义去做即可，具体解答请见图：
函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的。
扩展资料：
函数连续区间对于连续性，在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的。这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性。
当x→x0时f(x)有没有极限，与f(x)在点x0处是否有定义并无关系。但由于现在函数在x0处连续，则表示f(x0)必定存在，显然当Δx=0（即x=x0）时Δy=0<ε。于是上述推导过程中可以取消0<|Δx|这个条件。
在某点连续的有限个函数经有限次和、差、积、商（分母不为0） 运算，结果仍是一个在该点连续的函数。连续单调递增 （递减）函数的反函数，也连续单调递增 （递减）。
参考资料来源：百度百科——连续函数
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第1个回答 2019-11-04
题目是这样吧：
求函数f(x)=(x³+3x²-x-3)/(x²+x-6)的连续区间,
并求极限x→0,x→2,x→3的极限.
分母(x²+x-6)≠0,即(x-2)(x+3)≠0,所以x≠2,x≠-3,
∴定义域为 x∈(-∞,-3)∪(-3,2)∪(2,+∞)
初等函数在定义域内是连续的,
所以(-∞,-3)∪(-3,2)∪(2,+∞)是函数f(x)的连续区间.
在连续区间内函数的极限值等于函数值,所以
lim(x→0)f(x)=f(0)=(-3)/(-6)=1/2,
lim(x→3)f(x)=f(3)=(27+27-3-3)/(9+3-6)=8,
当x→2时,分子部分=(x³+3x²-x-3)→8+12-2-3=15为有界变量,
分母部分=(x²+x-6)=(x-2)(x+3)→0为无穷小量,
有界变量除以无穷小量极限为无穷大,
所以lim(x→2-)f(x)=-∞,lim(x→2+)f(x)=+∞,
所以当x→2时,f(x)的极限不存在.
求函数f(x)=(x³+3x²-x-3)/(x²+x-6)的连续区间,
并求极限x→0,x→2,x→3的极限.
分母(x²+x-6)≠0,即(x-2)(x+3)≠0,所以x≠2,x≠-3,
∴定义域为 x∈(-∞,-3)∪(-3,2)∪(2,+∞)
初等函数在定义域内是连续的,
所以(-∞,-3)∪(-3,2)∪(2,+∞)是函数f(x)的连续区间.
在连续区间内函数的极限值等于函数值,所以
lim(x→0)f(x)=f(0)=(-3)/(-6)=1/2,
lim(x→3)f(x)=f(3)=(27+27-3-3)/(9+3-6)=8,
当x→2时,分子部分=(x³+3x²-x-3)→8+12-2-3=15为有界变量,
分母部分=(x²+x-6)=(x-2)(x+3)→0为无穷小量,
有界变量除以无穷小量极限为无穷大,
所以lim(x→2-)f(x)=-∞,lim(x→2+)f(x)=+∞,
所以当x→2时,f(x)的极限不存在.
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