高分在线等，空间数学题目。空间四边形ABCD，在AB,BC,CD,AD上取四点EFGH，且EH与FG，相交P点。

Question

高分在线等，空间数学题目。空间四边形ABCD，在AB,BC,CD,AD上取四点EFGH，且EH与FG，相交P点。求证AE比EB乘BF比FC=AH比HD乘DG比GC

Answer 1

由于P在平面ABD上，又在平面CBD上，故在交线BD上。不妨设P在BD延长线上。作EI平行于BD，EI交AD于I，易证△IEH∽△DPH. 于是
EI/PD=IH/DH=(DI-DH)/DH (1)
EI平行于BD，故DI/AD=BE/AB, EI/BD=AE/AB
DI=AD*BE/AB (2)
EI=BD*AE/AB (3)
将(2)(3)代入(1)，得
BD*AE/(AB*PD)=(AD*BE/AB-DH)/DH (4)

下面再用同样的办法处理平面CBD内的线段关系，然后与(4)联立，应该可以证明结论。（过程太麻烦了，从略，抱歉）

Answer 2

你好：

此题可解，步骤也不多，

证明：

连结AF,CE,AG,CH,APCP,AF与CE相交于M,AG与CH相交于N,

∵P∈EH,P∈FG,EH在面ABD内，FG在面CBD内，

∴P在面CBD和面ABD的交线BD上，

同理，

∵P∈面CEH,P∈面AFG,

∴P在面AFG和面CEH的交线MN上，

综上，P在由BD和MN确定的平面上，

设平面MNDB与AC相交于点S,则有

AF,CE,BS相交于点M,且AG,CH,DS相交于点N，

上边这个证明了交于一点挺关键的，因为有定理：

赛瓦定理：
设O是△ABC内任意一点，AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1。

根据此定理，得：

(AE/EB)*(BF/FC)*(CS/SA)=1,

(AH/HD)*(DG/GC)*(CS/SA)=1,

结合这两个式子即可得到

(AE/EB)*(BF/FC)=(AH/HD)*(DG/GC),

得证！

[注]关于赛瓦定理，在竞赛中是最常用的定理，至于证明方法，在百度搜索可以得到很多，不再赘述。此题关键是证明BM和AC的交点与DN和AC的交点是同一个，以便利用赛瓦定理得证，这个共点的图形想了很久，图挺乱的，想发上来，可是我现在是手机UC上的，没有办法作图，所以请楼主把图画大些，有助理解！假如能上电脑，传图不是问题的。

祝你学习进步！

如有疑问，欢迎再次交流！

谢谢！