关于“设方阵A满足A^2-A-2E=0，证明：A及A+2E都可逆，并求A的逆矩阵及（A+2E）的逆矩阵”

Question

我不理解的地方是求(A-2E)的逆时，
“ 由A^2-A-2E=0
则有 A(A+2E) -3(A+2E) + 4E = 0"<-----是怎么到这步的不太理解

Answer 1

第一种不对, 因为此时还不知道 A+E 是否可逆.

第二种是对的.
知识点: 若A,B是同阶方阵, 且 AB=E, 则A,B都可逆,并且 A^-1=B,B^-1=A.
由于 A[(1/2)(A-E)] = E
所以A可逆, 且 A^-1 = (1/2) (A-E).

同理, 由A^2-A-2E=0
则有 A(A+2E) -3(A+2E) + 4E = 0
所以 (A-3E)(A+2E) = -4E
所以 A+2E 可逆, 且 (A+2E)^-1 = (-1/4) (A-3E).追问

麻烦看清楚问题呀~而且这个答案我之前看过了。。 还是不理解呀

Answer 2

我的思路如下，仅供参考。
要证明A+2E可逆，首先要有A+2E的出现，那么问题就来了，A²怎么办？唯一的办法就是化成A（A+2E）,然后多出来的部分用后面的去抵消。明显多出来了3个A，所以要减去（不要忘记最初的目的，化成A+2E的形式）3（A+2E），然后多出来4E。就出来了。a（a+2e）-3（a+2e）+4e
这是我的思路，因为我感觉只要是出来运算题，肯定就是能让咱配出来的，大大胆配就行。