2． 凡有公约数的勾股数我们称之为派生勾股数，例[30，40，50] 等；
3． 无公约数的勾股数，例[3，4，5]；[8，15，17]等，我们称之为勾股数。全是偶数的勾股数必是派生勾股数，三个奇数不可能符合定义公式。因此，勾股数唯一的可能性是：
X和Y分别是奇数和偶数（偶数和奇数），斜边Z只能是奇数。
4． 勾股数具有以下特性：
斜边与偶数边之差是奇数,这个奇数只能是某奇数的平方数, 例1,9,25,49,……，至无穷大；
斜边与奇数边之差是偶数,这个偶数只能是某偶数平方数的一半, 例2，8，18，32，……，至无穷大；
5． 由以上定义我们推导出勾股公式：
X = P＾2 + PQ （X等于P平方加PQ）
Y = Q＾2/ 2 + PQ （Y等于二分之Q方加PQ）
Z = P＾2 + Q＾2 / 2 + PQ （Z等于P平方加二分之Q方加PQ）
6． 此公式涵盖了自然界的全部勾股数，包括派生勾股数。
7． 用此公式很容易导出全部勾股数，例如2000以内的勾股数计有320组,（不含派生勾股数）。最大的一组是 [315, 1972, 1997]
8． 斜边是1105和1885的勾股数各有4组：
[47，1104，1105] [264，1703，1105] [576，943，1105] [744，817，1105]；
[427，1836，1885] [1003，1596，1885] [1643，924，1885] [1813，516，1885]；
9． 以任意奇数代入P ，任意偶数代入Q ，即可得到唯一一组勾股数。
例如P = 5 ，Q = 8 ，得到
X = 25 + 5×8 = 65
Y = 32 + 5×8 = 72
Z = 25 + 32 + 5×8 = 97
10． 它极清楚地显示出了斜边与偶数直角边之差是奇数的平方，斜边与奇数直角边之差是偶数平方值的一半，而斜边则是由奇数的平方与偶数平方的一半和此奇数与偶数之积三项之和所构成。
11． 当P与Q有公约数时，例如9与12 ，再例如21与28等，推导出来的是派生勾股数；
当P与Q无公约数时，例如9 与8 ，再例如21与16等，推导出来的是勾股数；
12． 不存在不符合本公式的勾股数。例如有人奉献趣味勾股数[88209，90288，126225]，它实际 是个派生勾股数，它是[297，304，425]乘297倍而成，它是由P = 11和Q = 16导出。
13． 本文所提供的公式是依据本文第4条的两条勾股数特性规律推导而出，但是它可以与六百年前印度婆罗门笈多公式相互推导。
14． 依据本公式勾股定理可从正整数拓展到负整数。在笛卡尔座标图上，勾股三角形可以在更大的位置上显现。
万望采纳追问
这个。。还是没有解释怎么求啊。。
是已知Z求所有X,Y，而不是任意求勾股数
所有勾股数根本无法求出
345的无限次倍数都是勾股数
。。。。你理解错了
现在Z作为已知数，求所有X,Y∈N*，使得X^2+Y^2=Z^2
这样的话就很简单了，做出函数图象，观察整点就行了
追问天哪= =我好像应该先说这是一道编程的题目的。。无法作图，只能通过分析。穷举X，判断Z*Z-X*X是否为完全平方数速度太慢，拿不到满分。
追答这。。应该没办法吧
采纳吧，我也真没办法。。o(╯□╰)o
分享一下我的探讨：
一、Rt△中三边的分量：x、y、√（2xy）。
若：a²＋b²=c²①，则：a+b＞c
令：a+b-c=d,②
则：c-b=a-d; c-a=b-d
令：c-b=a-d=x,即：a=x＋d，③
c-a=b-d=y，即：b=y＋d，④
把③、④代入②整理得：c=x＋y＋d，⑤
把③、④、⑤代入①得：
（x＋d）²＋（y＋d）²=（x＋y＋d）²，
展开左边：x²＋2xd＋d²
＋y²＋2yd＋d²
=x²＋y²＋2（x＋y）d＋2d²，
给多项式（配方）加上（2xy-2xy）
得：（x²＋2xy＋y²）＋2（x＋y）d＋d²
＋d²-2xy=（x＋y＋d）²＋d²-2xy
把左、右两边用等号连接：
（x＋y＋d）²＋d²-2xy=（x＋y＋d）²
整理即得：d²=2xy，即：d=±√（2xy）；
通过检验，d的正、负两个根，
都满足等式①，而且x、y取除零外的任意实数值，在复数范围内都满足等式①。
x、y、√（2xy）这三个分量在Rt△A、B、C的三边a、b、c中的结构（由于是手机操作，无法作图，只能文字表述）：以A为原点、Ac（即b）为半径画弧交AB于D，DB=x，以B为原点、BC（即a）为半径画弧交BA于E，AE=y，ED=√（2xy），显然：
a=x＋√（2xy）
b=y＋√（2xy）
c=x＋√（2xy）＋y，
这就是Rt△三边的一般表达式。
二、勾股数表达式。以上表达式中的
√（2xy），不能经常为正整数，观察知：只要xy为平方数的二倍，即x、y中一个为平方数，另一个为平方数的二倍，√（2xy）就经常是正整数了，不妨设：
x=m²、y=2n²，那么：
√（2＊m²＊2n²）=2mn，
由√（2xy）的来历知：它是基数x、y关于√2的二元函数，且为a、b、c三边公有，因而可称x、y为勾股基，称√（2xy）为勾股冠。至此，可以肯定的说：
a=m²＋2mn=m（m＋2n）
b=2n²＋2mn=2n（m＋n）
c=m²＋2mn＋2n²
=m²＋2n（m＋n）
=m（m＋2n）＋2n²
就是勾股数的一般表达式！只要设定：
（1）m=2i-1，（i为正整数）
（2）n=j， （j为正整数）
（3）（m，n）=1
表达式就是本原勾股数的一般表达式！
其中m²、2n²是勾股基，2mn是勾股冠。
此表达式的特点：
1、a为奇数直角边；（长短不定）
2、b为偶数直角边；（长短不定）
（当m²＞2n²时，奇边a＞偶边b；反之a＜b。）
3、c为斜边。（必为奇数）
4、a、b之差：|m²-2n²|
5、c-b=m²
6、c-a=2n²
三、m、n的几种特殊取值：
1、m取常数1，n取正整数：1、2、3……
奇边a、偶边b、斜边c分别为：
1（1＋2＊1） ，2（1＋1），4＋1²；
3 ， 4 ， 5 ；
1（1＋2＊2） ，4（1+2） ，12+1²；
5 ， 12， ， 13 ；
1（1+2＊3） ，6（1＋3），24+1²；
7 ， 24 ， 25；
…… …… ……
2、m取≥3的奇数，n取常数1：
3（3+2＊1）， 2（3＋1）， 8+3²；
15 ， 8 ， 17 ；
5（5+2＊1）， 2（5+1）， 12+5²
35 ， 12 ， 37 ；
7（7+2） ， 2（7+1）， 16＋7²；
63 ， 16 ， 65 ；
…… …… ……
3、m：1、3、7、17 ……
〔m（i＋1）=2＊mi＋m（i-1）〕
n：1、2、5、12 ……
〔n（i＋1）=2＊ni＋n（i-1）〕
m：1、3、7、17、41……
{
n：1、2、5、12、29……
1（1+2＊1），2（1+1），4+1² ；
3 ， 4 ， 5 ；
3（3+2＊2），4（3+2），20+3²
21 ， 20 ， 29 ；
7（7+2＊5），10（7+5），120+7²；
119 ， 120 ， 169 ；
17（17+2＊12），24（17+12），
696+17²；
697 ， 696 ， 985；
41（41+2＊29），58（41+29），
4060+41² ；
4059 ， 4060 ， 1681；
…… ， …… ， ……
此种取值的特点是：各组的两直角边之差恒等于对应勾股基m²、2n²之差：
|a-b|=|mi²-2ni²|
所谓“举一反三”，“触类旁通”，m、n的任意取值组合，便是一个所谓的“套路”，如是：勾股数的套路可是无穷无尽的了！因此可以说（奇数直角边简称奇边；偶数直角边简称偶边。）：
奇边：a=m（m＋2n）
偶边：b=2n（m＋n）
斜边：c=2n（m＋n）＋m²
就是勾股数的一般表达式！m、n的任一不同取值的组合，就会给出一系列具有不同共性的勾股数组。这无疑是Rt△三边的分量x、y、√（2xy）的作用吧。
我们一直寻求勾股数的规律，本人感觉Rt△三边的分量x、y、√（2xy）（也就是勾股数的分量m²、2n²、2mn）的存在，清晰的揭示了勾股数的最基本规律！不难证明：一组勾股基所确定的Rt△A、B、C，其内切圆直径就是该组勾股冠的值：
d内=2mn；
内切圆圆心到∠A、∠B、∠C的距离分别为：
|O内A|=n√〔2（m²＋2mn＋2n²）〕；
|O内B|=m√〔2（m²＋2mn＋2n²）〕；
|O内C|=√2mn。
若不考虑本原勾股数，任意正整数都在m、n的取值范围内，都满足勾股定理的公式。所得勾股数包括所有本原、派生勾股数组，并且d的负根〔-√（2xy）也就是（-2mn）〕同样满足勾股定理的公式（在平面直角坐标系中同样有实在意义）。
四、当m²、2n²的算数平均值和几何平均值越接近，即不等式（m²＋2n²）/2≥√2mn的大于号越趋近于等号，那么，两直角边之和与斜边的比值就越大：（a＋b）/c
=（m²＋2n²＋4mn）/（m²＋2mn＋2）的比值在数轴上从左侧越趋近√2；而勾股基之和与勾股冠之比值就越小，即（m²＋2n²）/2mn的比值在数轴上从右侧越趋近√2：
（m²＋2n²＋4mn）/（M²＋2n²＋2mn）
＜√2＜（m²＋2n²）/2mn，
1＋（2mn）/（m²＋2n²＋2mn）
＜√2＜（m²＋2n²）/2mn。
0＜d/c＜√2-1。
图一清晰的展示了x、y及√（2xy）这三个分量在Rt△三边a、b、c中的存在及其占比。
图二清晰的展示了勾股基、勾股冠与Rt△三边的几何意义，也清楚的表达了d²=2xy（切割线定理）。
（由于是用手机操作，无法作图，只好在纸上作图，然后拍照。）