1、解释不同
连续：函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。
持续：意思是延续，继续；无间隔，连续不断。
2、出处不同
连续：晋 潘岳 《悼亡赋》：“听辙人之唱筹，来声叫以连续。”
持续：鲁迅《书信集·致曹靖华》：“电影局及书店，已有被人捣毁，颇有令此辈自己逐渐饿死之意，出版界更形恐慌，大约此现象还将持续。”
3、用法不同
持续所要表示的是一种状态的保持，更强调它的“静态”特征.比如气候方面的高温、低温或干旱，如果是一个时期保持某一种状态而没有变化，就可以使用持续。
连续更侧重于表示“重复”的特征，即前后的动态或静态均无变化，只是重复而已。
参考资料：百度百科-持续
参考资料：百度百科-连续
持续所要表示的是一种状态的保持，更强调它的“静态”特征.比如气候方面的高温、低温或干旱，如果是一个时期保持某一种状态而没有变化，就可以使用持续，如说持续高温、持续低温或持续干旱等。从汉语语法和习惯看，持续的使用频度要比继续低。
连续更侧重于表示“重复”的特征，即前后的动态或静态均无变化，只是重复而已。如说某人连续出错，意思就是说某人一个接一个重复出现错误，尽管出错的内容可能有所不同，但“出错”这个行为本身却是重复性的。
比如打牌，某人出错了一张牌，有人给他指出，他换了一张再出，还是错了；指出的人急了，再次指出，他又换一张再出，还是错了。这时，我们就可以说他连续出错。
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