空间解析几何,这是一门以代数手段探索空间几何形态奥秘的学科,它揭示了数与形之间深刻的联系。
想象一下图1-1中的场景,我们从空间中选取任意一点O,构造三条互相垂直的直线Ox、Oy和Oz,赋予它们正方向和单位长度,这就是空间直角坐标系Oxyz的基石。原点O,三条轴线——x、y、z轴,以及由此划分的Oxy、Oyz和Ozx三个坐标平面,共同构建了这个三维空间的基本框架。每个卦限,都是由这些坐标平面划分出的空间区域。
对于任意一点P,过点P作坐标轴的垂直平面,其在各轴上的坐标分别为x、y、z(注:这里是一维坐标轴上的点坐标)。因此,三个有序实数(x, y, z)就构成了点P的坐标,记作P(x, y, z)。
坐标折线的概念至关重要:从P到xy平面的垂足记为Pxy,再到z轴的垂足记为Pz,点P的坐标可以用有向线段OPxy、OPz的长度来表达,如图1-2所示。
空间两点之间的距离,通过勾股定理即可计算,无需赘述。两点P(x1, y1, z1)和Q(x2, y2, z2)之间的距离d,用公式表示即为:
d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)
线段分割定比分点公式则描述了点P在线段AB上的位置,用比值λ表示。公式表达如下:
P = A + λ(B - A)
其中,λ的取值范围和意义需根据上下文定义,理解为从A到B的分点位置。
除了直角坐标系,还有柱面坐标系和球面坐标系,它们在处理特定问题时更为便捷。例如,柱面坐标系中,以平面坐标(x, φ)和半径r表示空间点,其变换关系和定义范围如图1-3所示。
球面坐标系则以平面坐标(ρ, θ, φ)描述,同样有着独特的变换公式,用于刻画球面和锥面等几何形状,如图1-5。
在这些坐标系中,两点间的距离计算公式同样重要,它们为理解空间中点与点之间的几何关系提供了关键工具。
需要注意的是,不同的坐标系中角的定义可能有所差异,这会影响坐标之间的转换和变量范围。
这是一份作者复习空间解析几何的成果,源自杨文茂老师和李全英老师的教材,以及作者的个人理解。我们希望通过这些内容,帮助大家深入理解空间坐标与坐标系的精髓。