如何证明矩阵的1-范数计算式为：║A║1 = max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| } ?

Question

1-范数的表达式为通过按照列的模推导出给定的算子的模║A║1 = max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| } (列和范数，A每一列元素绝对值之和的最大值) (其中∑|ai1|第一列元素绝对值的和∑|ai1|=|a11|+|a21|+...+|an1|,其余类似)；

Answer 1

要证明矩阵的1-范数计算式为：║A║1 = max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| }，可以按照如下步骤进行证明：
1. 首先，我们需要定义矩阵的1-范数。对于一个n行m列的矩阵A，其1-范数定义为所有列向量的各个元素绝对值之和的最大值，即：
║A║1 = max{ ∑|aij| }, j=1,2,...,m
2. 接下来，我们需要证明上述公式等于max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| }。对于每一列向量Ai，我们可以将其展开为一个n维的列向量 a=[a1,a2,...,an]T，其中ai表示向量Ai的第i个元素。
3. 由于矩阵的列向量是列线性无关的，因此我们可以通过线性组合将每个列向量表示为其他列向量的和。例如，对于第一列向量A1，我们有：
A1 = a1e1 + a2e2 + ... + anen，
其中e1, e2, ..., en表示第n维的单位向量。
4. 根据绝对值不等式，我们可以得到：
|ai1| + |ai2| + ... + |ain| ≤ |a1| + |a2| + ... + |an|
5. 由此可以得到：
∑|aij| = max{ ∑|aij| } ≤ ∑|ai1| + ∑|ai2| + ... + ∑|ain|,
j=1,2,...,m
6. 另一方面，对于每个列向量Ai，我们也有：
∑|aij| ≤ ║A║1，
j=1,2,...,m
即矩阵的1-范数是所有列向量绝对值之和的上界。
7. 因此，我们得到了以下结论：
max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| } ≤ ║A║1 ≤ ∑|ai1| + ∑|ai2| + ... + ∑|ain|，
j=1,2,...,m
8. 根据上述结论，我们可以证明矩阵的1-范数计算式为：║A║1 = max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| }。

Answer 2

要证明矩阵的1-范数计算式为
║A║1 = max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| }
其中，A为n阶矩阵，aij为矩阵A的第i行第j列元素。

首先，我们需要证明 max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| } 是矩阵A的1-范数的上界。

根据1-范数的定义，有
║A║1 = max{ ∑|a1j|, ∑|a2j| ,…… ,∑|anj| }
其中，a1j、a2j、……、anj为矩阵A的第j列元素。

我们可以发现，对于任意的j，有
∑|a1j| ≤ ∑|aij| (i=1,2,……,n)

因此，
∑|a1j| ≤ max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| }

综合所有的j，我们可以得到
║A║1 = max{ ∑|a1j|, ∑|a2j| ,…… ,∑|anj| }
≤ max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| }

因此，max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| } 是矩阵A的1-范数的上界。

接下来，我们需要证明 max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| } 是矩阵A的1-范数的下界。

对于任意的i，我们有
∑|ai1| + ∑|ai2| + …… + ∑|ain| = ∑|aij|

因此，
max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| } ≤ ∑|aij| (j=1,2,……,n)

综合所有的i，我们可以得到
max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| } ≤ max{ ∑|a1j|, ∑|a2j| ,…… ,∑|anj| }
= ║A║1

因此，max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| } 是矩阵A的1-范数的下界。

综上所述，我们可以得到
║A║1 = max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| }

证毕。

Answer 3

要证明矩阵的1-范数计算式为$max\{\sum_{i=1}^{n}|a_{i1}|,\sum_{i=1}^{n}|a_{i2}|,...,\sum_{i=1}^{n}|a_{im}|\}$，需要首先理解矩阵的1-范数是指每一列元素绝对值之和的最大值。
假设$A$是一个$n\times m$大小的矩阵，其第$i$列的元素为$a_{1i},a_{2i},...,a_{ni}$，则$A$的1-范数可以表示为：
$||A||_1=max\{ \sum_{i=1}^{n}|a_{i1}|,\sum_{i=1}^{n}|a_{i2}|,...,\sum_{i=1}^{n}|a_{im}| \}$
这个式子的意思是，对于矩阵$A$的每一列，计算该列中所有元素绝对值之和，然后取所有列中的最大值作为矩阵$A$的1-范数。
我们可以将这个式子改写成向量的形式，设$v_1,v_2,...,v_m$分别表示$A$的$m$列向量，那么有：
$||A||_1=max\{\sum_{i=1}^{n}|v_{1i}|,\sum_{i=1}^{n}|v_{2i}|,...,\sum_{i=1}^{n}|v_{mi}| \}$
这个式子的意思是，对于每一个列向量$v_i$，计算该向量中所有元素绝对值之和，然后取所有列向量中的最大值作为矩阵$A$的1-范数。
接下来我们来证明这个式子，可以采用反证法。假设存在一种计算矩阵$A$的1-范数的方法，它与上述公式不等价，即两种方法得到的结果不同。
那么就存在一组矩阵$A$，使得这两种方法得到的1-范数不同。记第一种方法计算得到的1-范数为$||A||_1$，第二种方法计算得到的1-范数为$||A||'_1$，则有$||A||_1\neq ||A||'_1$。
但是矩阵的1-范数具有如下的性质：$||A+B||_1\leq ||A||_1+||B||_1$，其中$A,B$均为矩阵。这个性质的意思是，两个矩阵的1-范数之和不会超过它们的和的1-范数。结合这个性质以及矩阵加法的结合律和交换律，我们可以得到：
$$
\begin{aligned}
||A||_1&=||A+0||_1\\
&\leq ||A||_1+||0||_1\\
&= ||A||_1
\end{aligned}
$$
这与假设矛盾，因此原命题成立，即矩阵的1-范数的计算式为：
$||A||_1=max\{\sum_{i=1}^{n}|a_{i1}|,\sum_{i=1}^{n}|a_{i2}|,...,\sum_{i=1}^{n}|a_{im}| \}$。
根据定义，一个矩阵A的范数可以由向量范数推导出来。对于任意一个向量x，我们有：
||Ax|| ≤ ||A||*||x||
其中，||A||表示矩阵A的范数，||x||表示向量x的范数。
因此，我们可以根据向量1-范数的定义，推导出矩阵1-范数的计算式：
||A||1 = max{||Ax||1 / ||x||1}
其中，||x||1 = ∑|xi|，而||Ax||1 = ∑|∑(Aij * xj)|。
因此，我们可以按列求和来计算矩阵的1-范数：
||A||1 = max{∑|∑(Aij * xj)| / ∑|xi|}
其中，x为非零向量。
但是，这种方法的计算量较大，在求解大型矩阵的1-范数时，可能会面临计算困难的问题。在实际中，更常用的是使用迭代算法，快速逼近矩阵的范数。

Answer 4

我们需要证明的是：
$║A║1 = max\{∑|a_{i1}|, ∑|a_{i2}|,……,∑|a_{in}|\}$
其中$1\le i\le n$
定义$║A║1 = max_{j=1}^n ∑_{i=1}^n|a_{ij}|$，也就是说，我们需要证明：
$║A║1 = max\{∑|a_{i1}|, ∑|a_{i2}|,……,∑|a_{in}|\}$
首先，对于任意的$i,j$，有：
$|a_{ij}|\le max_{m=1}^n|a_{im}|$
因此，对于任意的$j$，有：
$∑_{i=1}^n|a_{ij}| ≤ ∑_{i=1}^nmax_{m=1}^n|a_{im}| = max_{m=1}^n∑_{i=1}^n|a_{im}|$
因此，我们可得：
$║A║1 = max_{j=1}^n ∑_{i=1}^n|a_{ij}| ≤ max_{m=1}^n∑_{i=1}^n|a_{im}|$
而又有：
$∑_{i=1}^n|a_{im}| ≤ ∑_{j=1}^nmax_{i=1}^n|a_{ij}| = ∑_{j=1}^n║A║1$
因此，我们可得：
$max_{m=1}^n∑_{i=1}^n|a_{im}| ≤ n║A║1$
同时，我们也可以找到一个矩阵$B=(b_{ij})$，其中$b_{ij}=1$（$1\le i \le j \le n$）满足$║B║1=n$，即在$B$矩阵中，每一行都是相同的元素。因此，我们有：
$∑_{i=1}^n|b_{ij}|=n$
而且，当$j$取不同的值时，$B$矩阵中每一行的和都是不同的。
由于$B$矩阵的每一行的和都是不同的，因此$B$矩阵中每一行的和都必须等于$max\{∑|a_{i1}|, ∑|a_{i2}|,……,∑|a_{in}|\}$中的一个。由于$║B║1=n$，因此我们有：
$║A║1=max\{∑|a_{i1}|, ∑|a_{i2}|,……,∑|a_{in}|\}\le n ║B║1=n$
因此，我们可以得出结论：
$║A║1 = max\{∑|a_{i1}|, ∑|a_{i2}|,……,∑|a_{in}|\}$
其中$1\le i\le n$
证毕。

Answer 5

矩阵的1-范数定义为矩阵A的每一列元素的绝对值之和的最大值，即

||A||1 = max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| }

为了证明这个计算式，我们可以分两步走：

第一步，证明右边的式子是1-范数的一个上界。对于任意一个矩阵A，我们可以按列把它写成一个n维列向量的形式，即

A = [a1, a2, ……, an]

其中ai是A的第i列。那么，根据绝对值不等式有

|ai1| + |ai2| + …… + |ain| ≥ |ai1 + ai2 + …… + ain|

因此，

∑|ai1| + ∑|ai2| + …… + ∑|ain| = ||a1||1 + ||a2||1 + …… + ||an||1 ≥ ||a1 + a2 + …… + an||1 = ||A||1

也就是说，右边的式子是1-范数的一个上界。

第二步，证明右边的式子是1-范数的一个下界。我们可以利用1-范数的定义来证明。对于任意一个矩阵A，设它的1-范数为M，那么对于A的任意一列ai有

|M| ≥ |ai1| + |ai2| + …… + |ain|

那么，对于矩阵A的每一列，都有上式成立。所以，

∑|ai1| + ∑|ai2| + …… + ∑|ain| ≤ nM

因此，

max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| } ≤ M

也就是说，右边的式子是1-范数的一个下界。

由上述两步可知，右边的式子既是1-范数的一个上界，也是1-范数的一个下界，因此可以得到：

||A||1 = max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| }