高数求极限 几个小问题~~帮下忙

Question

1.Lim X趋向0，SIN5X^2/(TAN2x)^2

2.Lim X趋向PAi SINX/X-PAI

3 Lim X趋向正无穷,2^x*SIN 1/2^X

大家不要嘲笑我-,-谢谢了

Answer 1

lim(x->0) sin5x^2/(tan2x)^2 【等价无穷小替换：sint~t，tant~t】
①=lim(x->0) 5x^2/(2x)^2
=5/4
②=lim(x->0) sin5x^2/[sin2x/cos2x]^2
=lim(x->0) [sin5x^2/5x^2]* 5/4*[[2x/sin2x]^2]*[cos2x]^2
=5/4

①lim(x->π） sinx/(x-π) 【0/0 ,罗必塔法则】
=lim(x->π） cosx/1
=-1
②lim(x->π） sinx/(x-π) 【令：π-x = t】
=lim(t->0） sin(π-t)/(-t)
=-lim(t->0） sint/t
=-1

①lim(x->+∞） 2^x*sin(1/2^x) 【等价无穷小替换：x->+∞, 1/2^x ->0, sin(1/2^x)~1/2^x】
=lim(x->+∞） 2^x*(1/2^x)
=1
②lim(x->+∞） 2^x*sin(1/2^x)
=lim(x->+∞） sin(1/2^x) /[1/2^x] 【令：1/2^x=t】
=lim(t->0） sint/t
=1