如何理解全概率公式？

Question

如题所述

Answer 1

全概率公式是概率论中的一个重要公式，它表明了一个随机变量的期望值可以通过对该随机变量在不同取值下的概率分布进行加权平均来计算。具体来说，设 XX 是一个随机变量，A_1, A_2, \cdots, A_nA1,A2,⋯,An 是 XX 的一组互不相交的事件，且它们构成了样本空间 \OmegaΩ 的一个划分，即 A_1, A_2, \cdots, A_nA1,A2,⋯,An 是 \OmegaΩ 的一个划分，且 A_i \cap A_j = \emptyset, \forall i \neq jAi∩Aj=∅,∀i≠j，则有：
E[X] = \sum_{i=1}^n P(A_i) \cdot E[X|A_i]E[X]=i=1∑nP(Ai)⋅E[X∣Ai]
其中，P(A_i)P(Ai) 表示事件 A_iAi 发生的概率，E[X|A_i]E[X∣Ai] 表示在给定事件 A_iAi 发生的条件下，随机变量 XX 的期望值。
下面是一种证明全概率公式的方法，基于条件期望的定义。
首先，根据条件期望的定义，对于任意事件 BB，有：
E[X|B] = \sum_{x \in B} x \cdot P(X=x|B)E[X∣B]=x∈B∑x⋅P(X=x∣B)
其中，P(X=x|B)P(X=x∣B) 表示在给定事件 BB 发生的条件下，随机变量 XX 取值为 xx 的概率。
接下来，考虑对于每个事件 A_iAi，我们可以将其看作是由两个事件 A_iAi 和 \overline{A_i}Ai 组成的互不相交的事件集合，其中 \overline{A_i}Ai 表示 A_iAi 的补集，即 \overline{A_i} = \Omega - A_iAi=Ω−Ai。因此，对于任意事件 $