相似三角形看不出来怎么办

如题所述

相似三角形看不出来,可以以下方法解决:

相似三角形与全等三角形的区别在于,两个三角形全等,形状、大小完全一样,我们在解题时可以找完全一样的三角形来确定是哪两个三角形全等。而相似三角形呢?形状相同,大小不等,如果仅仅依靠形状相等来找寻两个相似三角形,难度较大,因此需要掌握一些解题技巧,找到相似三角形。

寻找相似三角形,首先要清楚相似判定定理,判定定理1:有两个角对应相等的两个三角形相似;判定定理2:两边对应成比例且夹角相等的三角形相似;判定定理3:三边对应成比例的两个三角形相似。以及相似三角形的预判定定理:平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交,所截得的三角形与原三角形相似。

通过一个预判定定理和三个判断定理,找寻相似三角形,但是在找寻的过程中,也不是这么容易的。接着,我们就来介绍找寻相似三角形的一半步骤,按照步骤操作一遍,基本上能确定是哪两个三角形相似,再借助判定定理求出相似三角形。

方法一、直接寻找相似三角形

例题1:如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在边AD、BC上,且EF∥CD,G为边AD延长线上一点,连接BG,则图中与△ABG相似的三角形有多少个?

在寻找相似三角形时,首先考虑利用预判定定理,即“见平行,找相似”,常见的有“X”型结构与“A”型结构。比如本题,典型的“A”型结构,由DM∥AB可得△GDM∽△GAB;由EN∥AB可得△GEN∽△GAB,由DM∥EN可得△GDN∽△GEN,根据相似的传递性得到△GDN∽△GAB。

典型的“X”型结构,由EG∥FB可得△GNE∽△BNF,根据相似的传递性得到△BNF∽△GAB,图中与△ABG相似的三角形有4个。

方法二:等积式转化为比例式

例题2:已知,如图,AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,与△ABC的外接圆交于点D,AC与BD相交于点F,DA=DF,求证:BC2=BD•BF.

如果证明的为等积式,先转化为比例式,通过比例式找寻三角形,如果能找到三角形,那么按照判定定理(由1到2最后到3)依次判断,看能不能得到两个三角形相似;如果不能找到三角形,我们按照下面的步骤进一步操作。

本题将等积式转化为:BC:BD=BF:BC,发现有三角形:△BCD、△BCF,两个三角形已经具备的条件:一个公共角,∠FBC=∠CBD,还差一个条件,可以通过DA=DF得到。

方法三:寻找中间变量

例题2:如图,设D为锐角△ABC内一点,∠ADB=∠ACB+90°,过点B作BE⊥BD,BE=BD,连接EC.若AC•BD=AD•BC,求证:∠CAD=∠CBE.

将等积式转化为比例式,即AC:AD=BC:BD,找到△ACD与△BCD,通过判断发现两个三角形不相似,先看一下题目,能不能等量代换,可以发现已知BE=BD,那么变为AC:AD=BC:BE,找到△ACD与△BCE,可证明两个三角形相似,通过相似三角形的性质得到结论。

方法四:寻找中间变量

通过上述几步,还是没法找到相似三角形,即可能会碰到三点共线或四点共线情况时,此时可以考虑寻找中间变量来证明两个三角形相似。

例题4:如图,在△ABC中,CD⊥AB,DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为D,E,F.求证:CE•CA=CF•CB;

将等积式转化为比例式为:CE:CF=CB:CA,发现△CAB与△CEF,两个三角形都是直角三角形,已经具备一个角相等还差一个条件。可以利用四点共圆证明角相等,那如果没有想到这个知识点,发现没法直接证明,也不能等量代换,可以寻找中间变量CD,因为本题很明显有两个子母型结构。

因此,在解相似三角形问题时,我们可以按照上述步骤寻找三角形。第一步,找平行;第二步,等积式转化为比例式;第三步,等量代换;第四步,等量代换。如果还是找不到相似三角形,那么可能需要作辅助线了。

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