首先对于你说的这个乾隆的私生子陈文杰。他只不过是一个影视作品里面的角色而已。他的来源是一部叫《九岁县太爷》的电视剧。在乾隆微服私访的时候，他和一个叫陈青莲的人所生。虽然说是他的私生子，但怎么说也是身上流淌着他的血，乾隆还是对他有所照顾的。
首先我觉得他应该会找当时知晓这件事情的人，也就是乾隆的心腹，让他们适当的给陈文杰提供相对的生活费和帮助他学习成长。而且派人暗中保护陈文杰，不让他人发现陈文杰的存在，保护他不被人杀害。在陈文杰危难的时刻，乾隆还派出他的人来指出陈文杰的身份，而让陈文杰得以逃生。
由于乾隆对他的照顾，所以陈文杰人生发展还是比较好的。他自幼聪明好学，当他得知自己的身份过后，他并没有想着去找乾隆，得到自己应有的身份，而是默默的，发自内心的读书，不想为自己的父亲丢脸。于是他去参加科举，获得了很高的成就，最终成为了状元。而且这个状元没有别人，正是乾隆亲赐的。由此可以看出，正是因为陈文杰是乾隆的私生子，所以乾隆才能够有恻隐之心，来给陈文杰这么一个状元的称号。
但由于陈文杰这个人并不是真正的历史上存在的人，历史上也缺乏相关的记录。所以我只能根据电视剧里的情节，还有我自己的想象来回答你这个问题。
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