当集合P是集合S的必要条件,P包含于S还是P真包含于S？

Question

如题所述

Answer 1

真子集
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如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集（proper subset）。如果A包含于B,且A不等于B,就说集合A是集合B的真子集。
中文名
真子集
外文名
proper subset
别 称
真包含
表达式
A⊊B
应用学科
数学
适用领域范围
集合
目录
1 定义
▪ 子集
▪ 真子集
▪ 举例
2 有关命题

定义
编辑

子集
一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）。记作A⊆B（或B⊇A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）。[1]
即，对于集合A与B，∀x∈A有x∈B，则A⊆B。[1] 可知任一集合A是自身的子集，空集是任一集合的子集。[2] [3]

真子集
如果集合A⊆B，存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A与集合B有真包含关系，集合A是集合B的真子集（proper subset）。记作A⊊B（或B⊋A），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）。
即：对于集合A与B，∀x∈A有x∈B，且∃x∈B且x∉A，则A⊊B。空集是任何非空集合的真子集。
非空真子集：如果集合A⊊B，且集合A≠∅，集合A是集合B的非空真子集（nonvoid proper subset）。[2]
真子集与子集的区别：
子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等；
真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等。[1]

举例
所有亚洲国家组成的集合是地球上所有国家组成的集合的真子集；所有自然数的集合是所有整数的集合的真子集（即N⊊Z）；{1, 3} ⊊ {1, 2, 3, 4}，{1, 2, 3} ⊊ {1, 2, 3, 4}； ∅⊊{∅}。但不能说{1, 2, 3}⊊ {1, 2, 3}。[2]
设全集I为{1, 2, 3}，则它的子集可以是{1}、{2}、{3}、{1, 2}、{1, 3}、{2, 3}、{1, 2, 3}、∅；而它的真子集只能为{1}、{2}、{3}、{1, 2}、{1, 3}、{2, 3}、∅。它的非空真子集只能为{1}、{2}、{3}、{1, 2}、{1, 3}、{2, 3}。[1]

有关命题
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命题1：若集合A有n个元素，则
实例
集合A的子集个数为2n，且有2n-1个真子集，2n-2个非空真子集。[1]
证明：设元素编号为1, 2, ... n，每个子集对应一个长度为n的二进制数（规定数的第 i 位为1表示元素i在集合中，0表示元素i 不在集合中。如全集U={e1, e2, e3, e4, e5}，则{e1,e2,e3,e4,e5} ↔ 11111，{e2,e3,e4} ↔ 01110，{e4} ↔ 00010）。即其子集为00...0（n个0） ~ 11...1（n个1）。易知一共有2n个数，因此对应2n个子集。去掉11...1（即表示原来的集合A）则有2n-1个真子集，再去掉00...0（表示空集）则有2n-2个非空真子集。[4]
命题2：空集是任意集合的子集。
证明：给定任意集合A，要证明∅是A 的子集。这要求给出所有∅的元素是A 的元素；但是，∅没有元素。
对有经验的数学家们来说，推论 “∅没有元素，所以∅的所有元素是A 的元素”是显然的；但对初学者来说，有些麻烦。 换一种思维将有所帮助，为了证明∅不是A 的子集，必须找到一个元素，属于∅，但不属于A。因为∅没有元素，所以这是不可能的。因此∅一定是A 的子集。
这个命题说明：包含是一种偏序关系。[4]
命题3：若 A，B，C是集合，则：
自反性: A⊆A，反对称性: A⊆ B且 B⊆ A，当且仅当A= B，传递性: 若 A⊆ B且 B⊆ C则 A⊆ C。这个命题说明：对任意集合S，S的幂集按包含排序是一个有界格，与上述命题相结合，则它是一个布尔代数。
命题4：若 A，B，C是集合 S的子集，则：[4]
存在一个最小元和一个最大元： ∅ ⊆ A⊆ S（ ∅⊆A由命题2给出）。存在并运算: A⊆ A∪B若 A⊆ C且 B⊆ C则 A∪B⊆ C存在交运算: A∩B⊆ A若 C⊆ A且 C⊆ B则 C⊆ A∩B。这个命题说明：表述 "A⊆ B" 和其他使用并集，交集和补集的表述是等价的，即包含关系在公理体系中是多余的。[3]
命题5: 对任意两个集合 A和 B，下列表述等价：A⊆ B A∩ B= A A∪ B= B A− B= B′ ⊆ A′。[2]
参考资料

1. 曲一线等．五年高考三年模拟 数学必修一．北京：首都师范大学出版社，2014
2. 人民教育出版社．数学 必修一．北京：人民教育出版社，2014
3. 吕保献．初等数学．北京：北京大学出版社，2016
4. Fleix Klein．高观点下的初等数学．上海：复旦大学出版社，2010
词条标签：
自然学科 ， 科技 ， 理学

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