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求y=sinx绕Y轴旋转体体积,为什么使用这个方法而不使用更常用的通法
配图为本题给出的解法具体问题是:请问这里为啥不能使用V=∫π*(π-arcsiny)^2dy-∫π*(arcsiny)^2dy 来计算。设x=g(y),V=∫π[g(y)]^2dy 不是通法么?
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推荐答案 2023-08-30
首先,我们需要理解旋转体体积的基本概念和计算方法。对于一个平面曲线y=f(x),绕x轴旋转一周的旋转体体积公式为:V = ∫π[f(x)]^2dx。 对于y=sinx绕y轴旋转的情况,我们可以将其转化为x=siny的曲线,然后使用上述公式计算。 对于给定的解法,其思路是先计算出旋转曲面的面积,再乘以π,得到旋转体的体积。但是这种方法并不适用于所有情况,特别是对于非对称的情况,可能会导致计算结果不准确。 而通法是基于旋转体体积的基本概念,适用于所有情况。因此,在求解y=sinx绕y轴旋转体体积时,我们应该使用通法而不是给定的解法。 具体的计算过程如下: 首先,我们需要将y=sinx转换为x=siny 然后,根据旋转体体积公式,可得: V = ∫π[siny]^2dy = π∫[1-cos2y)/2]dy = π/2∫[1-cos2y)dy = π/2[y-sin2y/2] = π/2[arcsiny-(arcsiny*cosarcsiny)/2] = π/4arcsiny 因此,y=sinx绕y轴旋转体体积为π/4arcsiny。
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