共线向量为什么系数和为1？

Question

如题所述

Answer 1

因为若A、B、C三点共线，O为线外一点，则OB=aOA+bOC (OA、OB、OC为向量）中，a+b=1。

证明过程：设A、B、C三点共线，O是平面内任一点。因为A、B、C共线，所以存在非零实数k，使AB=kAC即OB-OA=k（OC-OA）所以OB=kOC+（1-k）OA反之，若存在实数x，y满足x+y=1，且OA=xOB+yOC则OA=xOB+（1-x）OC，OA-OC=x（OB-OC）所以CA=xCB，因此，向量CA与CB共线，又由于CA、CB有公共点C，所以，A、B、C三点共线。

向量

在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向。

向量的记法：印刷体记作黑体（粗体）的字母（如a、b、u、v），书写时在字母顶上加一小箭头“→”，如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。在空间直角坐标系中，也能把向量以数对形式表示，例如xOy平面中（2,3）是一向量。

以上内容参考：百度百科——向量

Answer 2

共线向量是指在同一直线上的向量，它们的方向相同或相反。当两个向量共线时，它们可以用线性组合的形式表示。

设有两个向量a和b，它们共线，即存在一个实数k，使得a = kb。

当求解共线向量的线性组合时，常常会要求系数和为1，即要求k的值满足k + (1-k) = 1。这是因为系数和为1的线性组合常常可以表示为两个向量的加权平均。

具体来说，在计算两个共线向量的线性组合时，系数k表示第一个向量在线性组合中的权重，而1-k则表示第二个向量在线性组合中的权重。当系数和为1时，可以理解为两个向量在线性组合中的权重之和为1，保证了线性组合后的向量仍然在与初始两个向量共线的直线上。

因此，系数和为1是一种常见的要求，可以保证共线向量在线性组合后继续保持共线。

Answer 3

共线向量的系数和为1，是因为在共线向量的线性组合中，系数的和等于共线向量的数量。假设有一个向量a和共线向量b，系数分别为x和y，则有：a = xb 或 a = yb。在这种情况下，x和y的系数和为x + y，因为b是共线向量，所以x + y等于1。因此，共线向量的系数和为1。

Answer 4

如果两个向量共线，意味着它们在同一直线上。假设这两个共线向量为v和w，可以表示为v = k * w，其中k是一个实数。换句话说，两个共线向量之间存在一个比例关系。

当我们将这两个向量的每个分量进行对应相除时，我们得到：

v₁/w₁ = v₂/w₂ = ... = vₙ/wₙ = k

其中，v₁、v₂、...、vₙ是向量v的各个分量，w₁、w₂、...、wₙ是向量w的各个分量。这表示每个分量之间的比例关系都是相同的。

由于两个向量共线，它们在同一直线上，所以我们可以将它们进行线性组合，表示为v = k * w。如果我们将这个线性组合展开，即将每个分量相加，我们得到：

v₁ = k * w₁
v₂ = k * w₂
...
vₙ = k * wₙ

将上述等式两边的v的各个分量相加，我们得到：

v₁ + v₂ + ... + vₙ = k * (w₁ + w₂ + ... + wₙ)

因为向量的分量之间的和是向量之和，即：

v₁ + v₂ + ... + vₙ = v
w₁ + w₂ + ... + wₙ = w

所以我们可以将上式写成：

v = k * w

由于这个等式成立，我们知道k必须等于1，否则向量v和w就不会共线。因此，当两个向量共线时，它们之间的系数和为1。本回答被网友采纳

Answer 5

共线向量是指在同一直线上的向量，它们的方向相同或相反。假设有两个共线向量a和b，可以表示为a = k * b，其中k是一个实数。如果a和b的系数和为1，即k + 1 = 1，那么k = 0。这意味着a和b的系数相等且为零，即a = 0 * b。这表明a和b是零向量或者说它们的长度为零。因此，两个非零共线向量的系数和不可能为1，只有当它们是零向量时，系数和才会为1。