老师说等价无穷小只能乘除的时候用，为啥加减不可以啊。两个重要极限没有这个限制？加减乘除都可以用吗？
老师说等价无穷小只能乘除的时候用，为啥加减不可以啊。两个重要极限没有这个限制？加减乘除都可以用吗？求教！！！
加减项中如果每一项都是无穷小，各自用等价无穷小替换以后得到的结果不是0，则是可以替换的。用泰勒公式求极限就是基于这种思想。
数学分析的基础概念。它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的数值(极限值)。极限方法是数学分析用以研究函数的基本方法，分析的各种基本概念(连续、微分、积分和级数)都是建立在极限概念的基础之上。
然后才有分析的全部理论、计算和应用.所以极限概念的精确定义是十分必要的，它是涉及分析的理论和计算是否可靠的根本问题。历史上是柯西(Cauchy，A.-L.)首先较为明确地给出了极限的一般定义。
扩展资料
等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。
求极限时，使用等价无穷小的条件：
1、被代换的量，在取极限的时候极限值为0；
2、被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。
参考资料来源：百度百科-等价无穷小
lim(a/b)=lim(a/b)*1*1=lim(a/b)*lim(a'/a)*lim(b/b')=lim(a/b*a'/a*b/b')=lim(a'/b')
如果是加减法,请问如何约分?
第一个重要极限sinx/x都是乘除没有加减,可以直接换
第二个重要极限(1+x)^(1/x)可以换,把x换成相应的等价无穷小.追问
不是的，我的意思是两个重要极限在题目中出现只是某一项，但是是和别的项组成加减的形式那也可以用吗？另外两个重要极限都是x趋于0形式的话是不是就可以理解为等价无穷小
追答你给我举个例子出来说重要极限和别的组成加减.
sinx/x=1,sinx~x这个没问题
但(1+x)^(1/x)=e,你怎麼等价啊?
数学的严密性在于它的形式的严密性
任何一个数学命题而的成立，都是要通过一套形式系统来证明的。
而不是通过经验或者其他的途径
在进行每一步的形式逻辑演绎的时候，必须保证每一步都是严格的
之所以不能用某些等价无穷小的代换，就在于这种代换不是严格的
追问你说的太深奥了，我想知道那个商积到底是什么意思，是不是比如只有构成商的形式，然而分子上有加减还是可以用的。比如limx趋于0 [(sinx)-x]/x 直接用的话答案可以做出来的啊
追答
注意，上图没有利用任何等价无穷小小代换
只利用了极限的运算法则和常用极限
不能直接用等价无穷小代换
每一步必须是严格的等号
如果用等价无穷小代换，你怎么保证等号成立？
我强烈建议你，尤其是初学微积分者
不要用任何等价无穷小代换
只利用恒等变换和极限运算法则以及常用极限来解决问题
你在用无穷小代换的时候，你脑子里是清晰的吗？
你可以足够的自信认为自己的这种方法是严格正确的吗？
这是从中学思维向高等数学思维转变的关键
物理和数学都是这样
中学物理喜欢用各种等效方法（分解合成法、隔离法，整体法等等），却很少思考这些方法的严格性
到了高等数学的时候，一定要把思维转变过来
不然的话，你会学得糊里糊涂
越是往后面，你脑子越是不清晰
一定要注重严格性
一定要注重严格性
一定要注重严格性
重要的话说三遍
就像你认为分子上有加减似乎还可以用等价无穷小代换
你为什么这么做？
你怎么证明这么做是正确的？
实际上并非如此
即便是分子上，也不能用无穷小代换
比如
（x-sinx）/x
你试着求一下当x→0时，上式的极限
写错了应该是（x-sin x）/x³
对于这个极限，如果你用x代换掉sin x，那么你会得出极限为0
但是，这个极限不是0,而是1/6
为什么呢？
因为，即便是等价的无穷小，也并不意味着相等
两者实际上相差了一个高阶的无穷小量
两者之差并不是0,而是一个高阶的无穷小量
所以，当这个高阶的无穷小量无法忽略的时候，直接用无穷小代换就会出错。
追问原来是这样！还有就是等价无穷小证明里面，我看好像分子分母需要同时取，但我在题目里面遇到只是分母取的，这是为什么啊
追答我前面说了，要做恒等变换
分母上乘以一个数，再除以这个数
分母上就会出现0/0型的结构
而等价无穷小0/0等于1,利用极限运算法则，所以等于直接把分母替换掉
上图中每一步都是恒等变换
所以才能这么使用
我再强调，不要使用任何无穷小替换
必须保证每个过程都是严格的
否则，你就根本不可能学好高等数学
追问太谢谢你了！！！
追答不客气
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