1/2的X次方=log以1/2为底X的对数方程求解

Question

如题所述

Answer 1

(1/2)^x=log[1/2]x
<=>-log[2]x=(1/2)^x
<=>log[2]x+(1/2)^x=0
通过作图不难发现此方程仅有一根，并且0<x<1
这个属于超越方程，不能用一般方法求解，在此用切线法求其近似值
做递推式：x[k+1]=x[k]-f(x[k])/f'(x[k]);
f(x)=log[2]x[k]+(1/2)^x, f'(x)=1/(xln2)+(1/2)^x*ln(1/2)
取初值x[0]=1,迭代结果如下：
x[0]=1.000000000000000
x[1]=0.543846168029823
x[2]=0.632391230864656
x[3]=0.641116904247706
x[4]=0.641185740304021
x[5]=0.641185744504986
x[6]=0.641185744504986
经过6次迭代得到了15位精度的解
所以x=0.641185744504986...

我编辑的切线法：http://baike.baidu.com/view/1585510.html?wtp=tt

Answer 2

（1/2)^x=log<1/2>x,只能求近似解x1：
x=1/2时左=1/√2<1=右；
x=1时左=1/2>0=右。
∴1/2<x1<1.
用同样的方法，用函数计算器，可得
x1≈0.82